Примеры рядов тейлора

Тогда при имеем , или .

Теорема доказана.

Выражение вида называется рядом Тейлора функции с центром в точке .

Таким образом, утверждение теоремы Тейлора состоит в том, что в любом круге с центром в точке , который вписывается в область голоморфности функции , эта голоморфная функция совпадает со своим рядом Тейлора с центром в точке .

Теорему Тейлора еще можно сформулировать и так. Если функция голоморфна в круге , то всюду в этом круге, то есть при справедливо равенство

.

Примеры рядов Тейлора

1. Пусть . Эта функция как известно, голоморфна во всей комплексной плоскости. Это гарантирует, что любой круг вписывается в область голоморфности этой функции.

Возьмем , тогда для любого из любого круга с центром в нуле будем иметь

.

Это значит, что ряд Тейлора совпадает с показательной функцией при любом .

2. Пусть . Эта функция голоморфна во всей комплексной плоскости. Возьмем , тогда

.

В самом деле, производные синуса легко вычислить, причем очевидна периодичность по : производная порядка совпадает с производной порядка

Производные четного порядка равны нулю при . По этой причине соответствующие члены ряда Тейлора мы просто пропускаем. Члены ряда с нечетными номерами отличны от нуля, поэтому они, занумерованные подряд с помощью индекса , в окончательной формуле и фигурируют. Выражение появилось от того, что как видно из таблицы знаки производных нечетного порядка чередуются.

3. . Этот пример аналогичен предыдущему. Опять возьмем . Тогда

Здесь производные нечетного порядка оказались равными нулю при , а у четных производных чередуются знаки.

8. НУЛИ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ

Первая теорема единственности. Если функция голоморфна в области G и в некоторой точке сама функция и все ее производные равны нулю, то функция равна нулю во всей области G.

Доказательство. Представим функцию в виде ряда Тейлора в круге с центром в точке .

.

Поскольку все производные в точке равны нулю, то сумма ряда Тейлора тоже будет равна нулю. Следовательно, Мы доказали, что в выбранном круге. В частности, в этом круге равны нулю и все производные функции .

Пусть теперь z – любая точка G. В силу связности G ее можно соединить ломаной с точкой a. Обозначим через R расстояние от ломаной до границы области G. Разобьем ломаную на отрезки длиной меньшей точками Круг радиуса с центром в любой точке будет целиком