Примеры полей

5)  Единичный элемент поля P единственный.

6)  .

Доказательство: Пусть , тогда, т. к. . Значит, ▲.

7)  Каждый отличный от нуля элемент а имеет единственный обратный к нему элемент.

8)  .

9)  В поле нет делителей нуля, т. е. нет ненулевых элементов, произведение которых было бы равно нулю.

Доказательство: Покажем, что если , то или . Действительно, пусть . Если , то все доказано. Пусть , тогда ▲.

10) Для любых элементов а и b, поля Р, уравнение имеет единственное решение . Это решение данного уравнения называется частным элементов а и b и обозначается .

Итак, частное любых двух элементов а и b, поля Р однозначно определено и .

Свойства частного:

1.  . Действительно,

2.  . Действительно

3.  .

Доказательство:

4.  .

Доказательство:

Разность аналогично.

5.  .

Доказательство:

6. 

Доказательство: Но из свойства 3) следует, что

значит

7. 

Действительно,

Примеры полей:

1. Каждое из следующих множеств — является полем.

2. — поле.

3. Множество всех дробно-рациональных функций с действительными коэффициентами есть поле, т. е. множество — поле.

4. — поле; — поле.

Все перечисленные поля являются бесконечными, т. е. содержат бесконечно много элементов. Существуют, однако, поля, состоящие из конечного числа элементов.

5. Рассмотрим кольцо классов вычетов по простому модулю р, то есть и покажем, что это поле.

Доказательство: если

.

6. Отметим, что если модуль m не является простым числом, то кольцо классов вычетов по данному модулю полем не является. Действительно, т. к. m — составное число, то такие, что , причем и – делители нуля, т. к. не является полем.

Характеристика поля

Не все свойства числовых полей сохраняются в случае произвольных полей. Так, складывая число 1 само с собою несколько раз, т. е. беря любое целое положительное кратное единицы, мы никогда не получим нуля 0. Это имеет место не для всех полей. Например, рассмотрим поле , в нем , то есть в поле нашлось целое кратное единицы , равное нулю .