Примеры по тфкп с решениями

б)

Особая точка z=3 лежит в области, ограниченной контуром . Следовательно, теорема Коши применять нельзя (функция не является регулярной во всей области). Применим ИФК:

, откуда .

Формула применима, если f(z) регулярна в области, ограниченной контуром Г. В нашем случае f(z)=z3 регулярна в области, ограниченной контуром . Получаем

.

Пример 2. Вычислить .

Решение. Подынтегральная функция имеет две особые точки z1=-3 и z2=1.

Особая точка z1=-3 лежит вне котура интегрирования, поэтому применим ИФК при z2=1.

.

Формула применима, т. к. функция регулярна в области, ограниченной ( в этой области нет особых точек).

Пример 3. Вычислить .

Решение.

Применим формулу , откуда

. Особая точка z0=2i лежит внутри контура интегрирования .

Лекция 6. Вычеты.

План лекции:

1.  Изолированные особые точки.

2.  Нули регулярной функции. Связь между нулем и полюсом.

3.  Вычеты. Основная теорема о вычетах.

4.  Вычет относительно полюса.

5.  Ряд Лорана.

6.  Логарифмический вычет функции. Принцип аргумента.

Содержание лекции.

Вопрос 1. Изолированные особые точки (иот).

Как сказано ранее, точка называется особой, если функция в ней не регулярна.

Пусть функция f(z) регулярна в окрестности точки z0 , за исключением самой точки z0. В этом случае z0 называется изолированной особой точкой (иот) f(z).

Будем различать три типа иот однозначной функции:

1.  иот z0 называется устранимой, если существует конечный предел

Можно показать, что функция регулярна в точке z=z0.

2.  иот z0 называется полюсом k-того порядка функции f(z), если предел произведения

при существует, конечен и не равен нулю:

Полюс первого порядка (k=1) называется простым полюсом. Из определения

полюса следует, что .

3.  иот z0 называется существенно особой, если она не является ни устранимой особой точкой, ни полюсом.

Таким образом, чтобы определить тип иот, нужно вычислить . Если

1.  , то z0 — устранимая

2.  , то z0 – полюс

3.  предел не существует, то z0 – существенно особая.

Пример. Найти особые точки функции и определить их тип.

1).

Производная не существует в точке . Определим тип особой точки. . Следовательно, — устранимая иот.

2).

— особая точка. Определим ее тип. . Следовательно, — полюс. Найдем порядок полюса, т. е. число k, при котором конечен предел

при k=1, т. е. полюс простой.

3)  .

— особая точка. Определим ее тип. . Выберем два пути стремления :

а) вдоль действительной положительной полуоси .

Тогда

б) вдоль отрицательной действительной полуоси

Тогда .

Т. к. получились различные значения, то предел не существует, и — существенно особая точка.

Вопрос 2. Нули регулярной функции. Связь между нулем и полюсом.

Точка z0 называется нулем k-того порядка функции f(z), если функция в точке z0 равна нулю и предел при существует, конечен и не равен нулю:

Пример. Найти нули функции

1) 

f(z) обращается в ноль при z=0. Определим порядок нуля:

при k=3, т. е. z=0 – ноль 3-го порядка.

2)

f(z) обращается в ноль при z=1. Определим порядок нуля:

при k=1, т. е. z=1 – ноль первого порядка.

2) 

f(z) обращается в ноль при z=1. Определим порядок нуля:

при k=4, т. е. z=1 – ноль 4-го порядка.

Замечание. На основании полученных решений можно сделать вывод: для дробно-рациональной функции порядок нуля равен степени соответствующего множителя в разложении f(z) на множители.

4).

Применяя замечание, получаем — ноль 2-го порядка, — простые нули.

Теорема 1. Если точка z0 — ноль k-того порядка для регулярной в этой точке функции f(z), то точка z0 — ноль (k-1)-го порядка для функции .

Доказательство. Из определения нуля k-того порядка следует, что

Следовательно, функцию можно доопределить в точке z0, положив

, причем g(z) будет регулярной в окрестности точки z0. Тогда при

, и .

Тогда, во-первых, и , т. к. непрерывна в точке z0. Во-вторых, имеем . Следовательно,

, а это и означает, что точка z0 — ноль (k-1)-го порядка для функции . Теорема доказана.

Перейдем теперь к теореме, выражающей связь между нулем и полюсом функции.

Теорема 2. Если точка z0 — ноль k-того порядка для регулярной в этой точке функции f(z), то для функции эта точка является полюсом k-того порядка.

Доказательство. Из определения нуля k-того порядка следует, что

.

Но тогда , т. е. предел конечен.

Отсюда и следует, что точка z0 – полюс k-того порядка. Теорема доказана.

Пример. Найти все иот функции и определить их тип.

Решение. — особая точка, причем в этой точке числитель не равен нулю.

; — простой ноль этой функции. Следовательно, для f(z) — простой полюс.

Вопрос 3. Вычеты. Основная теорема о вычетах.

Пусть функция f(z) регулярна в окрестности точки z0 за исключением z0 (т. е. z0 – иот)., Г – контур, лежащий в этой окрестности.

Вычетом функции f(z) относительно точки z0 называется выражение .

По следствию из теоремы Коши для многосвязной области величина вычета не зависит от контура Г.

Теорема 1. Вычет относительно устранимой особой точки равен нулю.

Доказательство. Пусть z0 –устранимая иот функции f(z). Тогда функция

будет регулярной в окрестности точки z0. По теореме Коши

, если Г – любой замкнутый контур, лежащий в области регулярности функции g(z) и содержащей внутри себя точку z0. Но на контуре Г по определению g(z) выполняется равенство g(z)=f(z). Следовательно, . Теорема доказана.

Перейдем теперь к основной теореме Коши о вычетах.

Теорема Коши о вычетах. Если функция f(z) регулярна в конечной замкнутой области , ограниченной контуром Г, за исключением конечного числа особых точек z1, z2,…, zn, лежащих внутри ,то .

Доказательство.

Опишем из каждой особой точки zk , как из центра, окружность Гk настолько малого радиуса, чтобы она целиком находилась внутри области и не содержала внутри себя других особых точек функции f(z). В многосвязной области, ограниченной контурами Г1, Г2, … , Гn, функция f(z) будет регулярной. По теореме Коши для многосвязной области (вторая формулировка) интеграл от функции f(z) по внешнему контуру Г равен сумме интегралов от f(z) по внутренним контурам Г1, Г2, … , Гn:

.

Умножим и разделим правую часть этого равенства на 2pi: