Примеры колец

Действительно,

Опр.4. Элементы называются делителями нуля, если , но .

Примеры колец:

1. Каждое из следующих множеств – является кольцом. Все они являются коммутативными кольцами с единицей и не содержат делителей нуля.

2. Множество всех четных целых чисел является коммутативным кольцом без единицы и делителей нуля.

3. Множество является коммутативным кольцом с единицей и без делителей нуля.

4. Множество классов вычетов по модулю m является коммутативным кольцом с единицей . При составном модуле m кольцо содержит делители нуля. Например, в кольце классы вычетов являются делителями нуля, т. к. , но .

5. Множество квадратных матриц n-ого порядка над полем действительных чисел является кольцом с единицей. Единицей является матрица . Это кольцо некоммутативное при и содержит делители нуля. Например, в кольце если , , то и мы видим, что . Матрицы и отличны от нуля – нулевой матрицы , но .

6. Множество функций, определенных для всех действительных значений х и принимающих действительные значения, является коммутативным кольцом с единицей. Сложение и умножение функций определяется при этом «поточечно»: , . Нулевой элемент — функция , единичный элемент — функция . В этом кольце имеются делители нуля, например, следующие функции: .

7. Множество многочленов от переменной х с коэффициентами из поля Р образует кольцо . Это кольцо коммутативное, содержит единицу и не имеет делителей нуля.

ВОПРОС № 3 Определение поля. Свойства. Характеристика поля. Примеры полей.

Опр.1. Полем называется множество Р, в котором определены 2 бинарные операции – сложение «+» и умножение «×», удовлетворяющие следующим условиям (аксиомы поля):

10 Сложение ассоциативно, т. е.

20 Сложение коммутативно, т. е.

30 (0 — нулевой элемент);

40 (-а — противоположный к элементу а элемент);

50 Умножение ассоциативно, т. е.

60 Умножение коммутативно, т. е.

70 (е — нейтральный элемент);

80 ( — обратный к элементу а элемент);

90 Имеет место дистрибутивный закон умножения относительно сложения (т. е. умножение и сложение связаны дистрибутивным законом): .

Видим, что поле является кольцом (10, 20, 30, 40, 50, 90), причем коммутативным (60) и с единицей (70).

Поэтому можно дать другое определение поля:

Полем называется коммутативное кольцо с единицей, в котором и любой ненулевой элемент обратим (т. е. имеет обратный элемент).

Поэтому в поле справедливы все свойства кольца, а именно:

1)  В поле P существует единственный нулевой элемент.

2)  Каждый элемент поля P имеет единственный противоположный элемент.

3)  В поле P имеет место закон сокращения: .

4)  Уравнение имеет единственное решение , которое называется разностью элементов b и a обозначается , т. е. в поле P можно рассматривать бинарную операцию – вычитание и установить все свойства вычитания.