Учебные материалы по математике | Примеры дифференцируемых и недифференцируемых функций | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Примеры дифференцируемых и недифференцируемых функций


Примеры дифференцируемых и недифференцируемых функций. Отметим, что класс функций, дифференцируемых в смысле комплексного анализа, довольно узок. Самые простые функции комплексного анализа могут быть недифференцируемыми.

Пример 1. $ f(z)=2x+i5y$. Здесь

$displaystyle frac{{partial f}}{{partial x}} = 2qquad
{rm и} qquadfrac{{partial f}}{{partial y}} = 5i.$

Условия Коши-Римана не выполнены, значит функция нигде не дифференцируема.

Пример 2. Проанализируем еще одну функцию с точки зрения дифференцируемости. С помощью условия Коши-Римана легко проверить, что функция $ f(z)=vert zvert^2=x^2+y^2$не дифференцируема при $ zneq 0$. По определению можно проверить, что эта функция будет все же дифференцируема в нуле. В самом деле,

$displaystyle frac{Delta f}{Delta z}=frac{vertDelta zvert^2}{Delta z},
$

Модуль этой функции

$displaystyle leftvertfrac{vertDelta zvert^2}{Delta z}rightvert=frac{vertDelta zvert^2}{vertDelta zvert}=
vertDelta zvertto 0.
$

Значит

$displaystyle mathop{rm lim}limits_{Delta zto 0}frac{Delta f}{Delta z}=
mathop{rm lim}limits_{Delta zto 0}frac{vertDelta zvert^2}{Delta z}=0,
$

то есть производная функции $ f(z)=vert zvert^2$в нуле существует и равна нулю.

Пример 3. Пусть $ f(z)=A_1z+A_0$, где $ A_0, A_1$произвольные комплексные числа. Очевидно, что

$displaystyle Delta f=A_1(z_0+Delta z)+A_0-A_1z_0-A_0=A_1Delta z,
$

поэтому

$displaystyle mathop{rm lim}limits_{Delta zto 0}frac{Delta f}{Delta z}=...
...frac{A_1Delta z}{Delta z}
=mathop{rm lim}limits_{Delta zto 0}A_1
=A_1.
$

Значит при любом $ z_0$линейная функция $ A_1z+A_0$дифференцируема в смысле комплексного анализа и

$displaystyle (A_1z+A_0)'=A_1.
$

Свойства производной. Основные свойства производных вытекают из свойств пределов и доказываются так же, как и в действительном анализе.

Перечислим их: если функции $ f(z)$и $ g(z)$дифференцируемы в точке $ z_0$, то

1) $ (f + g)'(z_{0} ) = {f}'(z_{0} ) + {g}'(z_{0} );$

2) $ (cf)'(z_{0} ) = c{f}'(z_{0} )$($ c$ — комплексное число);

3) $ (fg)'(z_{0} ) = {f}'(z_{0} )g(z_{0} ) + f(z_{0} ){g}'(z_{0} );$

$displaystyle 4) {left( frac{f}{g} right)'(z_{0} )
= frac{{f'(z_{0} )g(z_{0...
...m{ AA
= frac{{f'(z_{0} )g(z_{0} ) - f(z_{0} ){g}'(z_{0} )}}{{g^{2}(z_{0} )}}}
$

при условии, что $ g(z_{0} ) ne 0.$

5) Если $ f(z)$дифференцируема в точке $ z_0$, а $ g(z)$дифференцируема в точке $ f(z_0)$, то сложная функция $ g(f)(z)=g(f(z))$дифференцируема в точке $ z_0$, и

$displaystyle g(f)'(z_0)=g'(f(z_0))f'(z_0).
$

Пример 4. Так как функция $ f(z)=z$дифференцируема при любом $ z in Bbb C$, то из приведенных свойств вытекает, что любой полином от $ z$с комплексными коэффициентами

$displaystyle P_n(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+cdots +a_nz^n
$

является дифференцируемой функцией при любом $ z$.

Пример 5. Любая рациональная функция (частное двух полиномов)

$displaystyle frac{a_0+a_1z+a_2z^2+cdots +a_nz^n}{b_0+b_1z+a_2z^2+cdots +b_mz^m}
$

дифференцируема во всех точках, где знаменатель не равен нулю, то есть во всей комплексной плоскости за исключением корней полинома $ b_0+b_1z+a_2z^2+cdots +b_mz^m$.

Голоморфные функции. Функция называется голоморфной в точке $ z_0$области определения, если она дифференцируема в смысле комплексного анализа не только в самой точке $ z_0$, но и во всех точках некоторой окрестности точки $ z_0$.

Функция называется голоморфной в области, если она голоморфна во всех точках области.

Заметим, что, если функция $ f(z)$голоморфна в области $ G$, и ее производная тождественно равна нулю в $ G$, то функция постоянна в $ G$. Действительно, если $, то из равенства (3.7) следует, что частные производные функции $ f(x,y)$по $ x$и по $ y$тождественно равны нулю в $ G$, следовательно, функция $ f(x,y)$постоянна по $ x$при любом $ y$и постоянна по $ y$при любом $ x$. Значит она постоянна на любой горизонтальной и вертикальной прямой в области $ G$, и поэтому она будет постоянной на любой ломаной с горизонтальными и вертикальными звеньям. Но тогда она постоянна во всей области $ G$.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод