Примерные задания к экзамену по высшей математике

Примерные задания к экзамену по высшей математике за III семестр (ФЭУ).

I.  Обыкновенные дифференциальные уравнения.

1) Уравнения с разделяющимися переменными.

А) x²y+y =0 Б) (1+y²)dx = (1+x²)dy

B) x²y+y² = 0, если y(-1) = 1.

Г)ytgx-y = 1, если y(0,5п ) = 1.

Д) (2x+1)dy+ydx = 0, если y(4) = 1.

2) Линейные уравнения. Уравнения Бернулли.

А) y-y = e Б) y’+x²y = x² В) xy+y = 3

Г) y+ycosx = sin2x Д) y+xy = xy³ Е) y= x³y³-xy

3) Уравнение в полных дифференциалах.

А) (3x²+6xy²)dx+(6x²y+4y³)dy = 0

Б) 2xcos²ydx+(2y-x²sin2y)dy = 0

В) (xcos2y+1)dx-x²sin2ydy = 0

Г) (x-y+4)dy+(x+y-2)dx = 0

Д) еx+y+3×2)dx+(еx+y+4y3) = 0, если y(0) =0.

4) Линейные однородные уравнения II порядка.

А) y-5y+4y = 0 Д) y-6y+9y = 0

Б) y-2y+2y = 0 E) y+4y= 0

В) y-4y = 0 Ж) y+5y+6y = 0, если y(0) = 1, y(0) = -6

Г) y-2 y+10y = 0, если y(П/6) = 0, y(П/6) = e(П/6)

5) Линейные неоднородные уравнения II порядка.

А) y-8y+16y = ey/x, если y(0) = 0, y(0) = 1.

Б) y-6y+25y = 2sinx+3cosx

В) y-6y+8y = 3×2+2x+1

Г) y-2y+2y = exsinx

Д) y-2y = xe-x

Е) y+4y = sin2x

Ж) y-2y+y = 3ex+x+1

6) Уравнения, допускающие понижение порядка.

А) y= 6x-3, y(1) = 2, y(1) = 1, y(1) =1.

Б) y= sinx

В)xy+ y= 1+x

Г) (1+x2) y-2xу= 0, y(0)=0, y(0) =3

Д)y3y= 1, y(0,5)= 1, y(0,5) =1.

Е) y-( y)2+y(y-1) = 0, y(0) = 2, y(0) = 2.

II.  Ряды. Ряды Фурье.

1)  Исследовать сходимость рядов:

а) б) в) г)

д) е) ж) з)

2)  Найти радиус и интервал сходимости:

а) б) в) г)

3)  Разложить в ряд Фурье функции:

0, — П ≤ x ≤ 0, 1, -2 ≤ x ≤ 0

а) f(x)= 1, 0 ≤ x ≤ П, б) f(x)= -1, 0 ≤ x ≤ 2

4) Разложить в неполные ряды Фурье:

а) по косинусам б) по синусам

х, при 0 ≤ x ≤ 1

f(x)=

2-х, при 1 ≤ x ≤ 2

5) Разложить в ряд Маклорена и найти интервалы сходимости функций:

а)

6) Найти приближённые значения с точностью до 0,001:

7) Решить уравнения с помощью разложения в степенной ряд:

Ст. преподаватель: Л. Н. Ларина.