Примерные задания к экзамену по высшей математике
Примерные задания к экзамену по высшей математике за III семестр (ФЭУ).
I. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
1) Уравнения с разделяющимися переменными.
А) x²y+y =0 Б) (1+y²)dx = (1+x²)dy
B) x²y+y² = 0, если y(-1) = 1.
Г)ytgx-y = 1, если y(0,5п ) = 1.
Д) (2x+1)dy+ydx = 0, если y(4) = 1.
2) Линейные уравнения. Уравнения Бернулли.
А) y-y = e Б) y’+x²y = x² В) xy+y = 3
Г) y+ycosx = sin2x Д) y+xy = xy³ Е) y= x³y³-xy
3) Уравнение в полных дифференциалах.
А) (3x²+6xy²)dx+(6x²y+4y³)dy = 0
Б) 2xcos²ydx+(2y-x²sin2y)dy = 0
В) (xcos2y+1)dx-x²sin2ydy = 0
Г) (x-y+4)dy+(x+y-2)dx = 0
Д) еx+y+3×2)dx+(еx+y+4y3) = 0, если y(0) =0.
4) Линейные однородные уравнения II порядка.
А) y-5y+4y = 0 Д) y-6y+9y = 0
Б) y-2y+2y = 0 E) y+4y= 0
В) y-4y = 0 Ж) y+5y+6y = 0, если y(0) = 1, y(0) = -6
Г) y-2 y+10y = 0, если y(П/6) = 0, y(П/6) = e(П/6)
5) Линейные неоднородные уравнения II порядка.
А) y-8y+16y = ey/x, если y(0) = 0, y(0) = 1.
Б) y-6y+25y = 2sinx+3cosx
В) y-6y+8y = 3×2+2x+1
Г) y-2y+2y = exsinx
Д) y-2y = xe-x
Е) y+4y = sin2x
Ж) y-2y+y = 3ex+x+1
6) Уравнения, допускающие понижение порядка.
А) y= 6x-3, y(1) = 2, y(1) = 1, y(1) =1.
Б) y= sinx
В)xy+ y= 1+x
Г) (1+x2) y-2xу= 0, y(0)=0, y(0) =3
Д)y3y= 1, y(0,5)= 1, y(0,5) =1.
Е) y-( y)2+y(y-1) = 0, y(0) = 2, y(0) = 2.
II. Ряды. Ряды Фурье.
1) Исследовать сходимость рядов:
а) б) в) г)
д) е) ж) з)
2) Найти радиус и интервал сходимости:
а) б) в) г)
3) Разложить в ряд Фурье функции:
0, — П ≤ x ≤ 0, 1, -2 ≤ x ≤ 0
а) f(x)= 1, 0 ≤ x ≤ П, б) f(x)= -1, 0 ≤ x ≤ 2
4) Разложить в неполные ряды Фурье:
а) по косинусам б) по синусам
х, при 0 ≤ x ≤ 1
f(x)=
2-х, при 1 ≤ x ≤ 2
5) Разложить в ряд Маклорена и найти интервалы сходимости функций:
а)
6) Найти приближённые значения с точностью до 0,001:
7) Решить уравнения с помощью разложения в степенной ряд:
Ст. преподаватель: Л. Н. Ларина.