Применение определённого интеграла в экономике

11. Ньютона-Лейбница: если — какая-либо первообразная от, то

54. Применение определённого интеграла в экономике.

Пусть функция описывает изменение производительности некоторого завода с течением времени. Найдём объём продукции U, произведённый за промежуток времени [0;T]. Если предположить, что производительность не меняется с течением времени. То объём продукции , производимой за некоторый промежуток времени определяется как . Если не является постоянной величиной, то справедливо равенство, прчём, это равенство тем точнее, чем меньше .

Разлбъём отрезок [О;Т] на промежктки времени точками

В экономических исследованиях часто используется производственная функция Кобба Дугласа.

(1) , где y-величина обществ. продукта -затраты труда, -объём производственных фондов.

Если в(1) затраты труда есть линейная зависимость от времени, а затраты капитала неизменны, то ф-ю Кобба Дугласа можно преобразовать к виду:

Тогда объём выпускаемой продукции за Т лет составит:.

Пусть известна ф-я , описывающая изменение затрат времени t на изготовление изделия в зависимости от степени освоения производства, где x-порядковый номер изделия в партии, тогда среднее время, затраченное на изгот. 1 изделия в период освоения изделий вычисл. по формуле: .

Часто ф-я изменения затрат времени на изгот. деталей имеет вид: , где А-затраты врем. на 1-е изделие, В-показатель производственного процесса.

Определить начальную сумму по её конечной величине через время t (лет) при годовом проценте процентной ставки Р наз. дисконтированием.

Пусть К-конечная сумма, получ. за t лет. К-дисконтируемая (начальная) сумма, кот. в финансовом анализе наз. совершенной суммой.

Если проценты простые, то дискон. сумма вырвж. как пкрвоначальная :-процентная ставка. . Если проценты сложные, то .

Пусть поступаемый ежегодный доход изменяется во времени и описывается ф-ей и на удельной проц. ставке i процент начисляется непрерывно. В этом случае дисконтируемый доход за время Т вычисл. по формуле :

55. Теорема о существовании первообразной для непрерывной функции. Формула Ньютона– Лейбница.

Существовании первообразной для непрерывной функции.

Введем сначала понятие определенного интеграла с переменным верхним пределом.

Рассмотрим функцию у = ƒ(х), интегрируемую на отрезке [a, b]. Если х [a, b], то функция ƒ(х) интегрируема также на любом отрезке [a, x]. Предположим, что х меняется на отрезке [a, b], тогда на этом отрезке определена функция

Докажем, что функция непрерывна на отрезке [a, b]. Аргумент х придадим приращение такое, что [a, b], тогда по свойству 1 определенного интеграла получим

Применяя теорему о среднем, находим

где m – наименьшее, М – наибольшее значение функции ƒ(х) на отрезке (х, х + + Δх]; эти значения существуют, так как функция интегрируема, следовательно, и ограничена.

Из двух последних равенств следует, ΔФ = μΔх, откуда ΔФ→0 при Δх→0, т. е. Ф(х) – неравная функция, о чем свидетельствует следующая теорема.

Теорема

Если подынтегральная функция непрерывна, то производная определенного интеграла с переменным верхним переделом существует и равна значению подынтегральной функции для этого предела, т. е.

Ф’(х) = ƒ(х).

Доказательство.

Аргументу х функции придадим приращение Δх такое, что [a, b], ему соответствует приращение функции

Применяя формулуполучаем = х + θΔх, 0< θ<1.

Итак, ΔФ = ƒ(ξ)Δх, откуда

θΔх) = ƒ(х), т. е.

или

что и требовалось доказать.

Следствие. Определенный интеграл верхним пределом является одной из первообразных для непрерывной подынтегральной функции. Другими словами, для любой непрерывной на промежутке функции существует первообразная.

Формула Ньютона – Лейбница.

Формула Ньютона – Лейбница связывает неопределенный и определенный интегралы.

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b] ,а функция F(x)—какая-л. ее первообразная (т. е. F’(x)=f(x)), то

56.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.