Предельный признак сравнения

1)  Из сход ряда сход.

2) если расход. расход

Доказательство

1)  Пусть сх,

(Sn) возр., — сходится

2)

Следствие

то верно заключение теоремы 1.

Замечание

Т1.верна, если неравенство 0<an <bn выполн. с некоторого места.

Теорема 2 (предельный признак сравнения)

Пусть bn >0, an>0 , тогда

0<C<, то и сход. или расход. Одновременно С=0 , то сх сх.

расх расх

3. ,то расх расх

сх сх

Доказательство

1)  0<C<,

фиксир

(использ. следствие и зам. к Т1)

2)  с=0

(исп. сл. и зам. к Т1)

3) см. п.2

Замечание

если ,

17. Признак Даламбера

Теорема: Если сущ. предел n- и он равен l то

1) 1>l> сходится

2)при l>1 ряд расходится

3)при l=1 о сходимости ряда ничего нельзя сказать

Док-во:

18. Признак Коши.

1 0<l<l сходится

2)l>1 расходится

3)l=1 ничего нельзя сказать

Признаки используются только для исследования рядов с неотриц членами.

Док-во:

Док-во:

Док-во:

ч. т.д.

Формула Стирлинга

n!

19. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Теорема:признак Лейбница: Если убывая

1)

2) последовательность an монотонно убывает, то ряд

сходится при этом

Док-во:

n=2m

(S2m)-возраст. последов.

ограничена, сходится