Предел функции. теоремы о пределах

Пусть функция z=f(x, y) опред. в некоторой окрестности точки (x0,y0). Пусть ее аргументы x и y в свою очередь явл. функц. x = x(t) , y = y(t) и опред. в некот. окрестности точки t0 , причем x(t0) = x0 , y(t0) = y0 .

Тогда в окрестности точки t0 определена сложная функция аргумента t: z = f(x(t), y(t)).

Аналогично определяется сложные функции любого числа переменных.

30. Предел функции. теоремы о пределах. Замечат. пределы. Односторонние пределы.

Предел функции — это знач., к которому функция в опред. смысле приближается при приближении аргумента к опред. точке.

Теорема 1. (о пред. переходе в равенстве) Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают. f(x)=g(x)

Теорема 2. (о пред. переходе в неравенстве) Если знач. функции f(x) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g(x) , то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функции g(x). f(x)<g(x)

Теорема 3. Предел постоянной равен самой постоянной.

Теорема 4. Функция не может иметь двух различных пределов в одной точке.

Теорема 5. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при x→a, то и алгебр. сумма имеет предел при x→a, причем предел алгебр. суммы равен алгебр. сумме пределов

Теорема 6. Если каждый из сомножителей произвед. конечного числа функций имеет предел при x→a, то и произведение имеет предел при x→a, причем предел произвед. равен произвед. пределов.

Замечательные пределы — термин, использующийся для обознач. некоторых широко известных матем. тождеств со взятием предела. Особенно известны:

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел

Одностор. предел— предел числ. функции, подразум. «приближение» к пред. точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним и правостор. пределомами.

Правосторонний предел принято обозначать любым из нижеследующих способов:

для левост. пределов приняты обозначения:

В том случае, если послед. {f(xn)} неогран. возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а, то функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывается виде:

При переходе к функциям более сложного вида обычно сталкиваются с появл. выраж., значение которых не определено. Такие выражения назыв. неопределенностями. Раскрытие неопред. — методы вычисления пределов функций, заданных фор-ми, кот. в результате форм-ной подстановки в них предельных знач. аргумента теряют смысл.

31. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва.

Функция f(x) назыв. непрерывной в точке x0, если существует lim(x→x0) f(x), равный значению функции f(x) в этой точке:

lim(x → x0) f(x) = f(x0),

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Говорят, что функция f (x) имеет точку разр. первого рода при x = a, если в этой точке

1.  Сущ. левостор. и правостор. предел

2.  Эти односторонние пределы конечны.

Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

32. Непрерывность сложной функции. Непрерывность элементарных функций. Функции, непр. на множестве и их свойства.

Из непрер-сти функции y = f (x) в точке x0 и функции z = g (y) в точке y = f (x0) следует непрер. сложной функции g (f (x)) в точке x0.

Все элементарные функции являются непрер. в любой точке свой области опред.

Функция называется элементарной, если она построена из конечного числа композиций и комбинаций (с использ. 4 действий — сложение, вычит., умножение и деление) основных элементарных функций.

Функция F непрерывна на множестве E, если она непрерывна в каждой точке данного множества.

Свойства 1.Сумма конечного числа непр. функций есть функция непрерывная.

2.Произведение конечного числа непрер. функций есть функция непрерывная

3.Частное от деления двух непрерывных на мн-ве функций есть функция, непр. во всех точках, в кот. знаменатель отличен от нуля.

4.Всякая непр. на замкнутом ограниченном множестве функция достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.

33. Производная функции. Геометр., механ. и эконом. смысл производной. Правила дифференц. Произ. основных эл. функций.

Производная функции— основное понятие дифференц. исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Опред-тся как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную произв., назыв. диффер-мой.

Смысл производной — это скорость изменения ф-ции при изменении аргумента.

Геометрический смысл производной заключается в том, что есть tg угла наклона касательной, проведенной в точке x0.

Механ. смысл — произв. равна скорости.

Процесс вычисл. производной называется дифф-ем. Обратный процесс — интегрирование.

34. Произв. сложной функции. Логарифм. производная. Примеры применения произв. в экономике. Произв. высших порядков.

Производная сложной функции равна произведению произв. внешней функции на производную от внутр. функции. Произв. внутренней функции вычисляется в точке x, а произв. внешней функции — в точке u = g(x)!

Логарифм. производная — производная от натурального логарифма функции.

Часто применяется для упрощения нахождения производной некоторых функции, например сложнопоказательных.

Экономический смысл – отношение скорости изменения величины у (ее производной) к самой этой величине – темп изменения у; если темп положителен – скорость изменения увеличивается, если отрицателен – скорость падает.

Если f ‘(x) — производная функции f (x), то произв. от нее по независимой переменной x, (f ‘(x))’ = f »(x), называется производной второго порядка. Аналогично определены производные 3-го, 4-го, , и т. д, n-го порядка.

35. Дифф. функции одной переменной, его геометр. смысл. Применения дифф. в приближённых вычислениях.

Функция одной или многих переменных F дифференцируема в точке P тогда и только тогда, когда существует «дифференциал в точке p»: линейное отображение A такое, что

Непрерывная функция y = f(x) имеет в точке x0 конечную произв. f ‘(x0) тогда и только тогда, когда ее график в точке (x0, f(x0) имеет касательную с угловым коэфф.

tg α = f ‘(x0) ( − π/2 < α < π/2).

Прибл. вычисления Пусть нам известно значение функции y0=f(x0) и ее производной y0′ = f ‘(x0) в точке x0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.

Приращение функции Δyможно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т. е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dy или Δy»f'(x0)·Δx.

Т. к., по определению, Δy = f(x) – f(x0), то f(x) – f(x0)≈f'(x0)·Δx. Откуда f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)·Δx

36. Стационарные точки. Теорема Ферма Теорема Лагранжа. Правило Лопиталя.

Стационарная точка — точка, в которой все частные производные первого порядка рассматриваемой функции от нескольких переменных равны нулю и тем самым градиент дифференцируемой функции обращается в нуль. Любая экстремальная точка стационарная, если она находится внутри допустимой области, а не на ее границе.

Великая теорема Ферма: «для любого натур числа n>2 уравнение xn + yn = zn не имеет решений в целых ненулевых числах x, y, z»

Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непр. на [a, b] и дефф-на на (a, b), то сущест.

с. т. (a, b), такая, что: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).

В математическом анализе правилом Лопиталя называют метод нахожд. пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0 / 0 и беск/беск. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых усл. предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

37. Условие монот. функций. Экстремум функции. Необходимое усл. экстр. диф. функции. Наибольшее и наименьшее знач. непр. функции на отрезке. Дост. усл. экстр.

Монотонная функция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное

Если x2>x1, f(x2)>f(x1), то ф-ция монотонно возрастает. Если x2>x1, f(x2)<f(x1), то ф-ция монотонно убывает

Экстремум — макс. или миним. значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достиг. экстремум, назыв. точкой экстремума. Если достигается минимум — точка экстр. называется точкой миним., а если максимум — точкой максимума.