Предел функции комплексного переменного

В дальнейшем мы будем просто писать (4).

Теорема.

Для того чтобы число A = B+i·C было пределом функции W = f(Z) при Z→Z0, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства

(5), (6).

Теорема.

Пусть функция W = f(Z) и W = q(Z) заданы на одном и том же множестве E и выполняются равенства , . Тогда справедливы равенства , . Если дополнительно известно, что B ≠ 0, то .

10. Непрерывность функции комплексного переменного

Пусть точка Z0 принадлежащая E, является предельной точкой множества Е.

Функция f(Z) называется непрерывной в точке Z0 принадлежащей E, если .

Таким образом, функция f(Z) называется непрерывной в точке Z0 принадлежащей E, если для любого , что для любой точки Z, принадлежащей E (Z ≠ Z0), удовлетворяющей неравенству , выполняется неравенство .

Т. к. равенство эквивалентно выполнению равенств , , то непрерывность функции f(Z) в точке Z0 эквивалентно непрерывности вещественных функций u(x,y) и v(x,y) в соответствующей точке (x0,y0). Поэтому на непрерывность функции комплексного переменного распространяются все основные свойства непрерывных функций вещественных переменных. В частности справедливы теоремы.

Теорема.

Если функции f(Z) и q(Z) непрерывны в точке Z0, принадлежащей E, то функции f(Z)±q(Z) и f(Z)·q(Z) так же непрерывны в точке Z0, если дополнительно известно, что q(Z0) ≠ 0, то будет непрерывна и функция в точке Z0. В самом деле .

11. Понятие равномерной непрерывности функции комплексной переменной

Функция W = f(Z) называется равномерно непрерывной на множестве , если для любого , такое, что для любой пары точек Z1 и Z2, принадлежащих E, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

Каждая равномерно непрерывная в области E функция f(Z) является непрерывной в любой точке этой области. Однако не всякая непрерывная в области E функция является равномерно непрерывной функцией. Справедлива теорема.

Теорема.

Всякая непрерывная на замкнутом ограниченном множестве E плоскости (Z) функция f(Z) равномерно непрерывна на этом множестве.

Отметим, что непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция f(Z0) является ограниченной, т. е. существует М > 0, такая, что для любой Z принадлежащей E выполняется неравенство .

12. Понятие производной функции комплексного переменного

Пусть функция W = f(Z) задана на некотором множестве и Z0, принадлежащая E, предельная точка этого множества. Придадим Z0=x0+i·y0 приращение ΔZ = Δx+i·Δy, чтобы точка Z = Z0+ΔZ принадлежала множеству Е. Тогда функция W = u+i·v = f(Z) = u(x,y)+i·v(x,y). Получим приращение ΔW = Δu+i·Δv = f(Z0+ΔZ) — f(Z0) = Δf(Z0), .