Практическое занятие по математике

Практическое занятие «Финансовая математика».

1.  По окончании 3-его года на счете инвестора находится сумма 21074 руб. Начисление происходило по схеме сложного процента по ставке 12% в конце каждого года. Рассчитайте первоначальную сумму инвестиций.

Ответ: 15000 руб. = 21074/(1+0,12)3

2.  Инвестору выплачивается 5-летний аннуитет. В расчете на год платеж составляет 200 руб., однако, платежи осуществляются через каждые полгода. Инвестор размещает получаемые суммы под 10% годовых до истечения аннуитета. Определите будущую стоимость аннуитета.

Ответ:

Аннуитет – поток одинаковых по сумме платежей с равной периодичностью.

F= (С/r ) х [(1+ r/m)mn – 1] = (200/0,1) х [(1+ 0,1/2)2х5 – 1] = 1257,79 руб.

m – число выплат в течение года.

n – число лет выплат.

С – купонная ставка.

r – рыночная процентная ставка (например, ставка реинвестирования).

3.  Определите приведенную стоимость бессрочного аннуитета, по которому в конце каждого года выплачивается 200 руб., если процентная ставка равна 8% годовых.

Ответ:

Приведенная стоимость аннуитета Р=(С/r) х [1- 1/(1+r)n]

Приведенная стоимость бессрочного аннуитета Р= С/r

Р = 200/0,08= 2500 руб.

4.  Эффективный процент равен 6,09% годовых. Определите эквивалентный ему простой процент в расчете на год, если начисление процентов осуществляется каждые полгода.

Ответ:

Эффективный (реальный) процент – это процент, который получается по итогам года при начислении сложного процента в рамках года. Он определяется по формуле:

R эф. =(1+ r/m)m -1

(1+0,0609)=(1+Rп/год)2

√ 1,0609 = 1+Rп/год

Rп/год = 0,03 Rгод простой = 2х Rп/год= 0,06=6%.

5.  Непрерывно начисляемый процент равен 8% годовых. Определите величину эквивалентного процента, начисляемого 2 раза в год.

Ответ:

Непрерывно начисляемый процент – сложный процент при m→∞ (периодичность начисления устремилась к бесконечности).

F=P0 х еrn

r — непрерывно начисляемый процент.

n – количество лет начисления процента.

е = 2,71828

(1+R)=(1+0,08/2)2

R= (1+0,08/2)2 – 1 = 1,042 – 1 = 0,0816= 8,16% годовых.

6.  Номинал купонной облигации 1000 руб., цена 988,92 руб., купон 3% выплачивается 1 раз в год. До погашения бумаги 3 года. Ставка спот для одного года 3,1% годовых, для 2-х лет – 3,3% годовых. Определите теоретическую ставку спот для 3-х лет.

Ответ:

1 способ (через дисконтирование стоимости будущих потоков)

Р= С/(1+r) + C/(1+ r)2 + (C+N)/(1+ r)3

988,92 =30/1,031 + 30/1,0312 + (30+1000)/(1+r)3

r – теоретическая ставка спот для 3-х лет.

2 способ (через доходность к погашению)

Y = {C+(N-P)/t}/P

Y= {30+(1000-988,92)/3}/988,92 = 3,4% годовых.

7.  Номинал облигации 1000 руб., купон 6% выплачивается 1 раз в год. Инвестор покупает облигацию за 950 руб. До погашения облигации 3 года. Инвестор полагает, что он сможет реинвестировать купоны под 8% годовых. Определите реализованный процент по облигации, если инвестор продержит ее до погашения.

Ответ:

Реализованный процент (доходность) – процент, позволяющий приравнять будущие поступления (F) к текущей цене (P).

r = (F/Р)1/n — 1

F=1000х0,06х((1+0,08)3 – 1)/0,08=15,58272/0,08=194,784 руб. (будущие процентные поступления с учетом реинвестирования определяются по формуле будущей стоимости аннуитета).

Общая сумма средств на момент погашения облигации составит:

1000 + 194,784 = 1194,784 руб.

Реализованный процент по облигации:

(1194,784/950)1/3 – 1 = 0,0794 или 7,94% годовых.

2 cпособ

1000+194,784=950х(1+r)3

(1+r)3 = 1,25767

r =1,257671/3 — 1= 1,0794 – 1 = 0,0794 = 7,94% годовых.

8.  Рассчитайте текущую и доходность к погашению облигации с годовой купонной ставкой 10%, сроком погашения 1 год и рыночной стоимостью 75%, в годовых процентных ставках равна:

Ответ:

Текущая доходность = С/Р= (10/75)х100=13,33% .

Доходность к погашению =100х(С+(N-Р)/1)/75х100=100х(10+(100-75)/1)/75= 46,67% годовых.

9.  Рыночная «чистая» цена облигации составляет 85%, «грязная» цена – 92,5%, годовой купон 15%. Рассчитайте срок, прошедший с момента выплаты последнего купона.

Ответ:

«Чистая» цена облигации – цена без учета накопленного купонного дохода (Рч).

«Грязная» цена облигации – цена, включающая накопленный купонный доход (Ргр.).

Т= {(Ргр. – Рч)/r} х 365 = 365 х (92,5-85)/15=182,5 дней.

10.  Номинал облигации 1000 руб., купон 10% выплачивается 1 раз в год. До погашения облигации 3 года. Определите цену облигации, если ее доходность до погашения ожидается на уровне 12% годовых.

Ответ:

Расчет дисконтированной стоимости потока платежей по облигации.

Р=1000х((1+0,1)/(1+0,12)3 +0,1/(1+0,12)2 + 0,1/(1+0,12))=1000х(0,78295 + 0,07972 + 0,08929)= 951,96 руб.

11.  Вексель куплен за 160 дней до его погашения. Учетная ставка на момент покупки составила 6,1% годовых. Через 45 дней вексель продали по учетной ставке 5,6% годовых. Оцените эффективность данной финансовой операции в виде годовых ставок простых процентов. В году 360 дней.

Ответ:

Изначально вексель был куплен по: 100 — (160/360) х 6,1 = 97,3260% от номинала. Через 45 дней он был продан по : 100 – {(160-45)/360)} х 5,6 = 98?2356% от номинала. Искомая процентная ставка определяется как корень уравнения 97,3260 х (1+r х 45/360) = 98,2356, откуда r = 7,58%.

12.  Даны следующие вероятности роста доходности некоррелируемых активов «А», «В», «С»: Р(А)=0,8; Р(В)=0,7; Р(С)=0,9. Какова вероятность того, что доходности этих трех активов вырастут?

Ответ:

0,8х0,7х0,9=0,504

13.  Утром курс акции равен 200 руб. Инвестор полагает, что к вечеру курс акций может вырасти на 10% с вероятностью 70% или упасть на 20% с вероятностью 30%. Определите математическое ожидание курса акций к концу дня.

Ответ:

200х1,1х0,7+200х0,8х0,3=202р

14.  Рассчитайте цену погашения пая в открытом ПИФе, если стоимость активов составляет 20 млн. руб., стоимость пассивов – 5 млн. руб., количество паев 50 тыс., при купле-продаже паев установлена надбавка 1,5% и скидка 3% от расчетной стоимости пая.

Ответ: 291р.

15.  Доходность, равная риску инвестирования в акцию компании А 38% годовых. В течение предыдущих 4 лет по акции выплачивались дивиденды. За этот период дивиденд вырос с 2 руб. до 7 руб. Предполагается, что темп прироста будущих дивидендов сохранится на том же уровне. Определите курс акции.

Ответ: 7=2х(1+g)4

(1+g)=1,36778

Р=7х1,36778/(0,38-0,36778)=783,47р