Учебные материалы по математике | Понятие ряда комплексных чисел | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Понятие ряда комплексных чисел


Пример.

Построить мнимую часть числа по действительной

;

. Интегрируем по x.

. Находим производную по y и приравниваем

, и теперь интегрируем .

Таким образом,

, , , , следовательно, ;

.

19. Понятие ряда комплексных чисел

Символ вида W1+W2+…+Wn+…= (1), где Wn = un+i·vn (n = 1, 2, …) — комплексные числа (последовательности комплексный чисел) называются рядом комплексных чисел.

Числа Wn (n = 1, 2, …) называются членами ряда, член Wn называется общим членом ряда.

Числа вида Sn = W1+W2+…+Wn (2) (n = 1, 2, …), называются частичными суммами ряда (1).

Конечный или бесконечный предел S последовательности Sn называется суммой этого ряда.

Если предел S конечен, то ряд называется сходящимся, если же предел бесконечен, или вовсе не существует, то ряд расходящийся.

Если S сумма ряда (1), то пишут .

На сходящиеся комплексные ряды распространяются основные свойства сходящихся числовых рядов.

Например, для комплексных рядов справедлив критерий Коши: ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда для любого , что при всех n > N и любом p = 1, 2, … выполняется неравенство.

Из этого критерия непосредственно следует необходимый признак сходимости ряда: для того, чтобы ряд (1) сходился необходимо и достаточно, чтобы его общий член Wn → 0.

20. Абсолютно сходящиеся ряды комплексных чисел.

Ряд комплексных чисел (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (2).

Теорема.

Всякий абсолютно сходящийся ряд (1) комплексных чисел сходится.

Теорема.

Для того, чтобы ряд комплексных чисел (1) был абсолютно сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы абсолютно сходились вещественные ряды (3) и (4) , где Wn = un+i·vn (n = 1, 2,…).

Итак, абсолютная сходимость комплексного ряда (1) эквивалентна абсолютной сходимости вещественных числовых рядов (3) и (4). Поэтому на абсолютно сходящиеся комплексные ряды распространяются все основные свойства вещественных абсолютно сходящихся числовых рядов. В частности для абсолютно сходящегося комплексного ряда справедлива теорема о перестановке его членов, т. е. перестановка членов в абсолютно сходящемся ряде не влияет на сумму ряда. Для установления абсолютной сходимости комплексного ряда может применяться любой признак сходимости положительного ряда.

Признак Коши.

Пусть для ряда (1) существует предел , тогда если q < 1 , то ряд (1) абсолютно сходится, если q>1, то ряд (1) расходится.

Признак Даламбера.

Если для ряда (1) комплексных чисел существует предел , то при q < 1 этот ряд абсолютно сходится, а если q > 1, то ряд расходится.

Пример.

Исследовать на абсолютную сходимость ряд , здесь .

Найдем . Очевидно = = . Следовательно, ряд абсолютно сходится.

21. Понятие степенного ряда в комплексной области

Ряд вида (1),

где Z0, c0, c1, … cn, ориентированные числа, а Z комплексная переменная называется степенным рядом.

Это простейший функциональный ряд, числами которого являются fn(Z)=cn(ZZ0)n, числа c0, c1, … cn называются коэффициентами степенного ряда.

Этот ряд в отдельных точках может сходиться или расходиться.

Изучим структуру области сходимости и расходимости степенного ряда.

Для любого степенного ряда (1) существует число , такое что, во всех числах Z круга |Z Z0| < R ряд (1) абсолютно сходится, а во всех точках внешности этого круга |Z Z0| > R ряд расходится.

Такой круг |Z Z0| < R называется кругом сходимости степенного ряда (1).

Число R при этом называется радиусом сходимости степенного ряда.

Радиус окружности можно вычислить по формулам , если эти пределы существуют.

Теорема Абеля

Если степенной ряд (1) сходится в некоторой точке , то абсолютно сходится в любой точке круга |Z Z0| < |Z1 Z0|.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод