Учебные материалы по математике | Понятие предела функции и его геометрическое истолкование | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Понятие предела функции и его геометрическое истолкование


Рассмотрим числ. последовательность хп=(1+)п

n

1

2

10

100

1000

10000

(1+)п

2

2.25

2.594

2.705

2.717

2.718

С возрастанием n хп изменяется все медленней и медленней. И по-видимому стремится к некоторому пределу. Можно показать, что последовательность е является монотонно-возрастающей и при этом ограниченной 2 ≤ хп ˂3. По этому она имеет предел. Этот предел обозначается через число е, т. е. лимит при n, стремящийся в бесконечность: limn→ (1+)п = e

e – иррациональное число=2,72. Loge x = ln x.

Ф-ция у = ех = ехр х (экпонециональная ф-ция экспонента х). еln x = х, lg(еln x) = lg x, ln x∙ lg e= lg x.

Ln e = 0,434 = M0 (модуль перехода)

8. Понятие предела ф-ции и его геометрическое истолкование. Односторонние пределы.

Пусть ф-ция у= f(x) определена в некоторой окрестности х0 , это значит, что она определена в некоторой окрестности

х0, а в самой точке х0 может и не существовать.

Опред. Число А называют пределом ф-ции у= f(x) в точке х0 (при х→х0), если для любого, сколь угодно малого ᶓ>0 найдется такое положительное число δ=δ(ε)>0, что для всех х А ˅х: 0˂│х-х0│˂δ → │ f(x) — А│˂ε.

Геометрический смысл: А= lim х→х0 f(x), если для любой ε-окрестности точки А найдется такая δ-окрестность точки х0 , что для всех х≠ х0 из этой δ-окрестности соответствующие значения ф-ции у= f(x) лежат в ε-окрестности точки А.

Число А называется левосторонним пределом ф-ции у= f(x) в точке х0 , если для любого ᶓ>0 найдется такое число δ=δ(ε)>0, что при х£(х0 – δ; х0), выполняется неравенство

f(x) – А˂ε. В этом случае пишут

Число В называют правосторонним пределом ф-ции у= f(x) в точке х0 (при х→х0), если для любого, сколь угодно малого ᶓ>0 найдется такое положительное число δ=δ(ε)>0, что для всех будет выполнятся условие │ f(x) — В│˂ε.

Для существования предела ф-ции в точке х0 необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали односторонние пределы и эти односторонние пределы были равны между собой.

9. бесконечно малые функции и их свойства.

Бесконечно малые ф-ции – ф-ции, имеющие в точке х0 предел, равный 0.

Это значит

Т. е. найдутся такие значения х, что ф-ция f(x) будет принимать значения, меньше любого сколь угодно малого положительного числа. БМФ обозначаются α(х), β(х), γ(х).

Теор. 1 Если ф-ция у= f(x) в точке х0 имеет конечный предел, равный числу А, то в окрестности точки х0 она может быть представлена в виде f(x)=А + α(х), где α(х)-БМФ в т. х0.

Теор. 2(обратная для теор 1)

Таким образом справедливо

Ф-ла объединяет теоремы 1 и 2. И таоке утверждение иногда называется-основная лемма введения в математический анализ.

Теор 3 Алгебраическая сумма конечногого числа в БМФ в т. х0 есть ф-ция БМ в этой точке.

Ф-ция у= f(x) называется ограниченной в т. х0, если существуют такие два положительные числа М и δ, что для любого х:

Теор. 4 Произведение ограниченной ф-ции т. х0 на БМ в этой точке есть ф-ция БМ в этой точке.

Следствие 1. Произведение постоянной на бесконечно малую т. х0 есть БМФ в этой точке.

Следствие 2. Произведение двух БМФ т. х0 есть ф-ция БМ в этой точке.

10. Бесконечно большие функции. Теоремы о связи б. б и б. м. функции.

ББФ т. х0 называется ф-ция у= f(x), если для любого Е>0, как бы велико оно не было, найдется такое число δ, зависящее от Е(δ=δ(Е)),

При этом

Теорема. Ф-ция, обратная ББ в т. х0, есть ф-ция БМ в этой точке

Теорема. Если БМФ в т. х0 не обращается в 0, то обратная ей ф-ция есть ББ.или обратная БМФ есть ББФ.

11. Основные теоремы о пределах.

Теор 1. Предел постоянной равен самой постоянной.

Теор 2. Если ф-ция у= f(x) имеет в т. х0 предел, то этот предел единственный. Ф-ция в т. х0 не может иметь два разных предела в этой точке.

Теор 3. Если ф-ция у= f(x) имеет в т. х0 конечный предел, то она ограничена в окрестности этой точки.

Теор 4. Предел алгебраической суммы конечного числа ф-ции равен сумме их пределов при условии, что последний предел существует.

Теор 5. Предел произведения двух ф-ций равен произведению их пределов, если последний из них сущуствует.

Теор 6. Предел отношения ф-ции равен отношению их пределов при условии, что каждый из этих пределов существует и предел знаменателя отличен от нуля.

Теор 7.(теор о сжатой переменной или принцип двух милиционеров.) если ф-ция f(x) заключена меж двумя ф-циями f(x) и φ(х), то это значит, что

Теор 8. (лемма о сохранении знака ф-ции, имеющей отличный от 0 предел) Пусть f(x) определена в некоторой окрестности т. х0 (за исключением быть моет самой точки и ), то и существует окрестность в т. х0 , х→ х0, которой и сама ф-ция

за исключением быть моет самой точки.

Теор 9. (о переходе к пределу в неравенствах) В неравенстве, обе части которого имеют пределы, можно перейти к пределу, присоединив знак равенства.

Если

Теор 10. (теор Веерштраса) ф-ция монотонно-возрастающая и ограничена сверху некоторым числом М имеет предел и этот предел не принимает числа М

12. Сравнение бесконечно малых функций.

Как известно, сумма, разность и произведение двух б. м.ф. есть функция бесконечно малая. Отношение же двух б. м.ф. может вести себя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно большой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к какому пределу.

Две б. м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения.

Пусть α=α(×) и β = β(×) если б. м.ф. при хх0, т. е

1.Если называются бесконечно малыми основного порядка.

2.Если 0, то называется бесконечно малой более высокого порядка, чем .

3. Если =, то α называется малой более низкого порядка, чем β.

4. Если не существует, то α и β называется несравнимыми бесконечно малыми.

Отметим что таковы же правила сравнения б. м.ф. при х0.

13. Первый замечательный предел.

Первый замечательный предел нужно понимать не по форме записи, а по содержанию: предел отношения синуса аргумента к значению этого аргумента, когда значение аргумента стремится к 0 равен 1.

14. Второй замечательный предел. Понятие натуральных логарифмов. Переход от натурального логарифма к десятичному.

15. Непрерывность функций в точке.

Опр 1. Ф-ция у= f(x) называется непрерывной в т. х0, если она существует в некоторой окрестности т. х0 или в самой точке и предел ф-ции в этой точке равен значению ф-ции в этой точке.

Опр 2. Ф-ция у= f(x) называется непрерывной в т. х0, если она определена в некоторой окрестности т. х0 или в самой точке и бесконечно малому прирощению аргумента соответствует бесконечно малое прирощение ф –ции

Опр 3. Ф-ция у= f(x) непрерывна в т. х0, если выполняются следующие 3 условия:

1.  Ф-ция у= f(x) определена в т. х0, и в некоторой окрестности этой точки.

2.  Существуют конечные односторонние пределы ф-ций в этой точке, т. е f(х0 ± 0)

3.  Эти односторонние пределы равны между собой и равны значению ф-ций в т. х0. Т. е. f(х0 – 0)= f(х0 + 0)= f(х0)

16. Классификация точек разрыва.

Ф-ция у= f(x) непрерывна в т. х0, если выполняются следующие 3 условия:

1.  Ф-ция у= f(x) определена в т. х0, и в некоторой окрестности этой точки.

2.  Существуют конечные односторонние пределы ф-ций в этой точке, т. е f(х0 ± 0)

3.  Эти односторонние пределы равны между собой и равны значению ф-ций в т. х0. Т. е. f(х0 – 0)= f(х0 + 0)= f(х0)

Точка, в которой нарушается хотя бы одно из этих условий, называется точкой разрыва.

Различают точки разрыва 1-го и 2-го рода. 1-го рода-это когда выполняется обязательно 2-ое условие.

Точки разрыва 1-го рода:

1.  устранимые разрывы (когда f(х0 – 0)= f(х0 + 0))

2.  скачок (когда f(х0 – 0)≠ f(х0 + 0))

h – величина скачка. H= f(х0 + 0) – f(х0 – 0)

Все остальные точки относят к точкам разрыва 2-го рода.

17. Свойства функций непрерывных на отрезке.

Теор 1.(теорема Веерштрасса) Ф-ция непрерывная на отрезке достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Теор 2. (теорема Коши) ) Ф-ция непрерывная на отрезке переходя от первого своего значения к другому проходит через все промежуточные значения.

Теор 3. Если ф-ция f(x) определена сторогомонотонно и непрерывно на отрезке, то и существует обратная ф-ция

f(x) и она того же характера монотонности, что и исходная ф-ция непрерывна на отрезке.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод