Понятие о неберущихся в конечном виде интегралах

Пример 15.

Пусть , тогда подставляя найденные значения в формулу (7), приходим к следующему интегралу:

Применим метод интегрирования по частям к интегралу полагая

т. е., вычисляя исходный интеграл, мы приходим к подобному в результате исходный интеграл равен:

5.  Понятие о неберущихся в конечном виде интегралах.

Для всякой непрерывной в интервале [a, b] функции f(x) существует функция F(x), производная которой в точности равна данной функции. Тем не менее не всегда оказывается возможным интеграл от элементарной функции выразить через элементарные с помощью конечного числа арифметических операций. К числу таких заведомо невыражающихся в «конечном виде» интегралов относятся и ряд других, которые часто называют «неберущимися». Важно подчеркнуть, что все эти интегралы реально существуют, но они лишь представляют собой совершенно новые функции и не приводятся к тем функциям, которые мы называем элементарными.

6. Интегрирование рациональных функций.

Классы функций, интегралы которых выражаются через элементарные с помощью конечного числа арифметических действий, называются интегрируемыми в элементарных функциях. Известны сравнительно немногие классы функций, для которых имеется алгоритмы интегрирования. Простейшим из этих классов является класс рациональных функций R(x) .

Напомним, что рациональной дробью называется отношение двух алгебраических многочленов . Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя, например дробь

Неправильная дробь может быть представлена в виде целой части, интегрирование которой не представляет труда и остатка в виде правильной дроби. Это можно сделать делением «уголком»

x-1 — целая часть, -1 — остаток

т. е.

Согласно основной теореме алгебры, многочлен с действительными коэффициентами разлагается, и притом единственным образом, на действительные множители

(12)

Здесь — действительные корни многочлена, а квадратичные множители не имеют действительных корней и, следовательно, являются неразложимыми на действительные линейные множители. В разложении многочлена некоторые множители могут совпадать и тогда их можно объединить, вводя кратность множителей, например

P(x) = x3+4x2+4x = x(x2+4x+4) = x(x+2)2

В алгебре устанавливается, что каждому множителю вида в разложении знаменателя правильной дроби отвечает группа из k простых дробей:

каждому множителю группа из m простых дробей:

Ai, Mi, Ni — числовые коэффициенты. Таким образом, зная разложение (12) мы знаем знаменатели простых дробей, на которые разлагается заданная дробь:

(13)

Приводя правую часть (13) к общему знаменателю, который очевидно есть P(x), получим дроби, у которых знаменатели равны, а значит равны числители. Неизвестные коэффициенты в разложении (13) находят, приравнивая коэффициенты при различных степенях х многочлена Q(x) к соответствующим коэффициентам справа, – такой метод называют методом неопределенных коэффициентов. Итак, любую рациональную дробь можно разложить на простые дроби, которые интегрируются в конечном виде.

Пример 16.

Преобразуем подынтегральную функцию

Приравнивая числители, получим тождество, из которого следует, что

коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа равны

при x3 справа A1+M= 0, при x2 A2+N= 2, при x1 3A1 = -1, при x0 3A2= 1

откуда

Подынтегральная функция примет вид: .

Искомый интеграл запишется в виде суммы трёх интегралов

.

Первые два интеграла – табличные, третий вычисляется разложением на два интеграла, один из которых также табличный, а другой заменой переменной сводится к табличному. Окончательный результат:

Пример 17.

Интеграл вычисляется разложением подынтегральной функции на простые дроби, используя метод неопределенных коэффициентов

Сравнивая числители слева и справа, получим A1+A2=0, A1-A2=1/a, тогда A1= 1/2a, A2= – 1/2a, подставляя в искомый интеграл, получим

*