Понятие функции. области определения и изменения

1.Понятие ф-ции. Области определения и изменения. Опр.Правило, по которому каждому элементу х£Х ставится в соответствие единственный элемент у£У называется функцией, где х — независимая переменная(аргумент),у — зависимая переменная. f: X→Y: x→y=f(x). X=D(f)- область определения функции, y=E(f)- область значения.

Опр.Множество всех значений, которые может принимать функция, называется множеством значений функции.

Задать функцию-это значит указать ее область определения D и закон, по которому для каждого значения аргумента х из множества D определяется одно значение функции у.

Пример. Пусть функция задана на множестве всех неотрицательных чисел, т. е. на промежутки [0;+∞), формулой . здесь область определения функции совпадает с естественной областью определения выражения . Указанной формулой задается функция на промежутке [0;+∞).

Опр.Графиком функции называется множество всех точек на плоскости, где х принимает значения из области определения, а у- соответствующие им значения функции.

Опр. Значения аргумента, при которых функция принимает значение, равное 0, называются нулями функции.

2. Классификация ф-ций (возрастание, четность, периодичность).

1.Функция y=f(x), определенная на множестве D называется четной, если Vx £ D выполняются условия — x £ D и f(-x)=f(x); нечетной, если Vx £ D выполняются условия –x £ D и f(-x)=-f(x). График четной функции симметричен относительно оси OY а нечетной относительно координат. Например, y=x2 , y= , y=1n |x| — четные функции; а y=sinx, y=x3 – нечетные функции; y=x-1, y= – функции общего вида, т. е. четные и нечетные. 2. Пусть функция y=f(x) определена на множестве D и пусть D1 ʗ D. Если для любых значений X1, X2 £ D1 аргументов из неравенства X1˂X2 вытекает неравенство: f(x1) ˂ f(x2), то функция называется возрастающей на множестве D1; f(x1) ≤ f(x2), то функция называется неубывающей на множестве D1; f(x1) > f(x2), то функция называется убывающей на множестве D1. Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве D1 называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие – строго монотонными. Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности.

3. Функция y=f(x), определенная на множестве D, называется периодической на этом множестве, если существует такое число Т > 0, что при каждом х £ D значение (х + Т) £ D и f(x + Т) = f(x). При этом число Т называется периодом функции. Если Т – период функции, то ее периодами так же будут числа m∙T, где m = ±1; ±2,…

3. Основные элементарные ф-ции и их графики. Определение элементарной функции.

К основным элементарным ф-циям относятся ф-ции следующих 6 классов:

1)у = с (с-сonst),

2)y = xn (n ≠ 0, n £ R),

3) y=ax (a≠1, a>0),

4) y = logax (a≠1, a>0),

5) y = sin x, cos x, tg x, ctg x,

6) y = arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x.

Элементарной называется ф-ция, которую можно задать одним аналитическим выражением, составленным из основных элементарный ф-ций с помощью арифметический операций (сложение, вычитание, умножение и деление) и операций взятия ф-ции от ф-ции.

Элементарная ф-ция: 2cos(tg x + arcsin x) .

Неэлементарная ф-ция: tg x, x˂0

x4, x>0

4. Понятие обратной ф-ции. Взаимное располо- жение графиков прямой и обратной ф-ции.

Пусть задана ф-ция y=f(x) с областью определения D и множеством значений Е. если каждому значению у £ Е соответствует единственное значение х £ D, то определена ф-ция х=φ(у) с областью определения Е и множеством значений D. Такая ф-ция φ(у) называется обратной к ф-ции f(x) и записывается в следующем виде: х=φ(у)=f-1(y). Про ф-ции y=f(x) и х=φ(у) говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти ф-цию х=φ(у), обратную ф-ции y=f(x), достаточно решить уравнение f(x)=у относительно х (если это возможно)

Пример: Для ф-ции у=2х обратной является х=

Из определения обратной ф-ции вытекает, что ф-ция y=f(x) имеет обратную тогда и только тогда, когда ф-ция f(x) задает взаимно однозначное соответствие между множествами D и Е. Отсюда следует, что любая строго монотонная ф-ция имеет обратную. При этом если ф-ция возрастает (убывает), то обратная ф-ция также возрастает (убывает).

Графики взаимно обратных функций y=f(x) и у=φ(х) симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

5. Построение графиков функций с помощью преобразований.

Преобразования графиков функций — это линейные преобразования функции y = f(x) или её аргумента x к виду y =af(kx + b) + m, а также преобразование с использованием модуля.

у= f(x) + А — Параллельный перенос вдоль оси OY на A единиц вверх, если А>0, и на |A| единиц вниз, если А<0.

у= f(x-а) — Параллельный перенос вдоль оси OX на a единиц вправо, если a > 0, на |a| единиц влево, если a < 0.

у=к f(x) — Растяжение вдоль оси OY относительно оси OX в k раз, если k > 1, и сжатие в 1/kраз, если 0 < k <1.

у= f(кx) — Сжатие вдоль оси OX относительно оси OY в k раз, если k > 1,и растяжение в 1/k раз, если 0<k<1.

у= —f(x) — Симметричное отражение относительно оси OX

у= │f(x)│ — Часть графика, расположенная ниже оси OX, симметрично отражается относительно этой оси, остальная его часть остается без изменения.

у= f(—x) — Симметричное отражение относительно оси OY.

у=f(│x│) — Часть графика, расположенная в области x ³ 0, остается без изменения, а его часть для области x £ 0 заменяется симметричным отображением относительно оси OY части графика для x ³ 0.

Предел числовой последовательности. Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу a при увеличении порядкового номера n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел. Это понятие имеет более строгое определение.

Предел числовой последовательности. Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу a при увеличении порядкового номера n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел. Это понятие имеет более строгое определение.

Опред.a есть предел числовой последовательности, если для любого сколь угодно малого положительного числа e>0 найдется такой номер N=N(e), чтодля всех членов числовой последовательности хn, для которых n>N выполняется |xn-a|<e. Геометрически это значит, что для любого e> 0 можно найти такое число N, что начиная с n>N все члены последовательности расположены внутри интервала ( a — e, a +e ).

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; в противном случае – расходящейся.

Теорема.Последовательность называется ограниченной, если существует такое число M, что | хn| M для всех n. Возрастающая или убывающая последовательность называется монотонной.Замечание.Не всякая ограниченная последовательность имеет предел.

Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.

Теорема о сжатой переменной .Если существуют 3 последовательности, элементы одной из которых начиная с некоторого номера будут между элементами двух других при равных номерах, а также 2 другие последовательности имеют конечные пределы, и эти пределы равны, то наша последовательность тоже будет сходится к конечному пределу, и этот предел будет равен пределам двух других последовательностей.

7. Число е как предел числовой последовательности.