Понятие числового ряда

Если данный предел не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Геом. смысл несобс. инт. I рода: выражает площадь бескон. длинной криволинейной трапеции. Геом. смысл нес. интегралов II рода: выражает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции

47. Понятие числ. ряда. Геометр. прогрессия. Сход. числового ряда. Необх. признак сходимости. Прост. свойства сход. числовых рядов. Дост. признаки сход. полож. рядов.

Числ. ряд — это чис. последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм.

Важнейший вопрос исследования числовых рядов — это сходимость числовых рядов.

Геометр. прогрессия — последов. чисел (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число (знаменатель прогрессии). Любой член прогрессии может быть вычислен по формуле:

Необходимый признак сходимости: Если ряд u1+u2+…+un-1+un+… сходится, то его n-й член un стремится к 0.

Необходимый признак сходимости ряда не явл достаточным. Можно привести примеры рядов, у кот-х общий член un стремится к 0 при n стемящемся в бесконечность, ряд тем не менее расходится.

Сваойства: 1Если ряд сход., то сход. любой из его остатков. Наоборот, из сход. какого-то остатка вытекает сход. всего ряда. следует, что измен. или выбрасыв. конечного числа чл. ряда не измен. его сход. или расход.

48. Знакопер. ряды. Абсол. и усл. сх-ть. Признаки Лейбница.

Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бескон. мн-во отрицат. членов, наз. знакопеременным. Частным случаем знакоперем. ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки.

Абсол. сход. наз. знакопер. ряд, для к-го ряд, составленный из модулей его членов, , является сходящимся.

Условно сходящимся наз. сходящийся знакопер. ряд, для к-го ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Пример: Знакопеременный ряд является абсолютно сходящимся, так как ряд сходится.

Признак Лейбница: пусть для ряда

—+-…+(-1)n+1+…=n+1: 1) +1; 2) =0.Тогда ряд —+-…+(-1)n+1+…=n+1сходится и для любого его остатка справедливо нер-во |.

49. Функц. ряды. Степенный ряд. Теорема Абеля. Область сход. степенного ряда.

Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция

Степенным рядом наз. ряд вида +x++…++…=, где — некоторые числа, х — переменная. Коэффициентами степенного ряда наз числа …,,… При каждом конкретном значении переменной х степенной ряд становится числовым рядом, к которому также применимо понятие абсолютной сходимости. Областью сход. степенного ряда наз мн-во всех знач. переменной х при которых соответств. числ. ряд сходится.

А) Если степ. ряд c0 + c1x + c2x2+…+cnxn+…= , сходится при некотором значении x=x0то он сходится абсолютно при всех значениях x, таких что |x| |x0|.

Б) Если степ. ряд c0 + c1x + c2x2+…+cnxn+…= , расходится при x=x1, то он расх. при всех знач. x, таких что |x|>|x1|.

Теор. Абеля: Если степенной ряд с0 + с1 х + с2 х2 + с3 х3 + … + сn xn + … , сходится в точке х0≠0, то он сходится и притом абсол. в интервале (-|x0|,|x0|), то есть при всех значениях х, удовлетвор. условию |x|<|x0|.

50. Разлож. функции в степ. ряды. Ряды Тейлора и Маклорена. Разлож. элем. функц. в степ. ряда. Применение рядов к приближенным вычислениям.

Представление функции в виде

называется ее разлож. в степенной ряд.

Формулой Тейлора для функции f(x) в окрестности точки х называется многочлен

Рn(х)=f(х0)+

Остаточным членом формулы Тейлора называется последнее слагаемое в формуле Тейлора Rn (x)= = f(x) – Pn (x)

Таким образом, многочлен Тейлора Рn (х ) служит приближением функции f(х). Оценкой этого приближения служит остаточный член формулы Тейлора Rn (х ).

Формулой Маклорена для функции f(х) называется ее формула Тейлора при х0 = 0:

f(x)=f(0)+

где с – некоторая точка из интервала (0, х).

51. Функции неск. переменных. Предел функции в т. Непрер. Св-ва непрер. функций.

Если каждой паре (x, y) значений двух независимых переменных из области W ставится опр-ное значение z, то говорят, что z есть функция двух перем. (x, y). z=f(x, y)

Геометрическое изображение функции двух переменных — поверхность.

Предел функции в заданной точке — такая величина, к кот. стремится рассматриваемая функц. при стремл. её аргум. к данной точке.