Учебные материалы по математике | Понятие числового ряда | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Понятие числового ряда


Если данный предел не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Геом. смысл несобс. инт. I рода: выражает площадь бескон. длинной криволинейной трапеции. Геом. смысл нес. интегралов II рода: выражает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции

47. Понятие числ. ряда. Геометр. прогрессия. Сход. числового ряда. Необх. признак сходимости. Прост. свойства сход. числовых рядов. Дост. признаки сход. полож. рядов.

Числ. ряд — это чис. последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм.

Важнейший вопрос исследования числовых рядов — это сходимость числовых рядов.

Геометр. прогрессия — последов. чисел (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число (знаменатель прогрессии). Любой член прогрессии может быть вычислен по формуле:

Необходимый признак сходимости: Если ряд u1+u2+…+un-1+un+… сходится, то его n-й член un стремится к 0.

Необходимый признак сходимости ряда не явл достаточным. Можно привести примеры рядов, у кот-х общий член un стремится к 0 при n стемящемся в бесконечность, ряд тем не менее расходится.

Сваойства: 1Если ряд сход., то сход. любой из его остатков. Наоборот, из сход. какого-то остатка вытекает сход. всего ряда. следует, что измен. или выбрасыв. конечного числа чл. ряда не измен. его сход. или расход.

48. Знакопер. ряды. Абсол. и усл. сх-ть. Признаки Лейбница.

Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бескон. мн-во отрицат. членов, наз. знакопеременным. Частным случаем знакоперем. ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки.

Абсол. сход. наз. знакопер. ряд, для к-го ряд, составленный из модулей его членов, , является сходящимся.

Условно сходящимся наз. сходящийся знакопер. ряд, для к-го ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Пример: Знакопеременный ряд является абсолютно сходящимся, так как ряд сходится.

Признак Лейбница: пусть для ряда

+-…+(-1)n+1+…=n+1: 1) +1; 2) =0.Тогда ряд +-…+(-1)n+1+…=n+1сходится и для любого его остатка справедливо нер-во |.

49. Функц. ряды. Степенный ряд. Теорема Абеля. Область сход. степенного ряда.

Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция

Степенным рядом наз. ряд вида +x++…++…=, где — некоторые числа, х — переменная. Коэффициентами степенного ряда наз числа …,,… При каждом конкретном значении переменной х степенной ряд становится числовым рядом, к которому также применимо понятие абсолютной сходимости. Областью сход. степенного ряда наз мн-во всех знач. переменной х при которых соответств. числ. ряд сходится.

А) Если степ. ряд c0 + c1x + c2x2+…+cnxn+…= , сходится при некотором значении x=x0то он сходится абсолютно при всех значениях x, таких что |x| |x0|.

Б) Если степ. ряд c0 + c1x + c2x2+…+cnxn+…= , расходится при x=x1, то он расх. при всех знач. x, таких что |x|>|x1|.

Теор. Абеля: Если степенной ряд с0 + с1 х + с2 х2 + с3 х3 + … + сn xn + … , сходится в точке х0≠0, то он сходится и притом абсол. в интервале (-|x0|,|x0|), то есть при всех значениях х, удовлетвор. условию |x|<|x0|.

50. Разлож. функции в степ. ряды. Ряды Тейлора и Маклорена. Разлож. элем. функц. в степ. ряда. Применение рядов к приближенным вычислениям.

Представление функции в виде

называется ее разлож. в степенной ряд.

Формулой Тейлора для функции f(x) в окрестности точки х называется многочлен

Рn(х)=f(х0)+

Остаточным членом формулы Тейлора называется последнее слагаемое в формуле Тейлора Rn (x)= = f(x) – Pn (x)

Таким образом, многочлен Тейлора Рn (х ) служит приближением функции f(х). Оценкой этого приближения служит остаточный член формулы Тейлора Rn (х ).

Формулой Маклорена для функции f(х) называется ее формула Тейлора при х0 = 0:

f(x)=f(0)+

где с – некоторая точка из интервала (0, х).

51. Функции неск. переменных. Предел функции в т. Непрер. Св-ва непрер. функций.

Если каждой паре (x, y) значений двух независимых переменных из области W ставится опр-ное значение z, то говорят, что z есть функция двух перем. (x, y). z=f(x, y)

Геометрическое изображение функции двух переменных — поверхность.

Предел функции в заданной точке — такая величина, к кот. стремится рассматриваемая функц. при стремл. её аргум. к данной точке.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод