Учебные материалы по математике | Поле комплексных чисел

1. Поле комплексных чисел. Действительная и мнимая части, модуль и аргумент комплексного числа.

Комплексное число – это матрица специального вида . Для дальнейших рассуждений удобно преобразовать эту матрицу в виде линейной комбинации двух фиксированных матриц.

Единичная матрица принадлежит множеству , поэтому сответствует действительному числу и часто будем называть ее просто единицей. Вторая матрица совпадает с матрицей , которая введена в теореме 1 и в дальнейшем будет называться мнимой единицей.. Итак, справедливо

Утверждение 1. Произвольное комплексное число представляет собой линейную комбинацию единицы и мнимой единицы, то есть комплексное число имеет вид или просто . Надо помнить, что коэффициенты линейной комбинации действительные числа. Коэффициент при единице называется реальной частью комплексного числа, а коэффициент при мнимой единице – мнимой частью комплексного числа.

2. Формула Муавра, корень n-ой степени из комплексного числа. Расширенная комплексная плоскость.

Ко́мпле́ксная плоскость— это двумерное вещественное пространство $mathbb{R}^2$ , которое изоморфно полю комплексных чисел mathbb{C} .

Сфе́ра Ри́мана — риманова поверхность, естественная структура на расширенной комплексной плоскости widehat{mathbb , являющаяся комплексной проективной прямой mathbb Cmathbb P^1 .

Результатом компактификации комплексной плоскости является расширенная комплексная плоскость — комплексная плоскость, дополненная бесконечно удалённой точкой, изоморфная комплексной сфере.

Стереографическая проекция — центральная проекция, отображающая двумерную сферу (с одной выколотой точкой) на плоскость.

3. Последовательности комплексных чисел и их пределы. Ряды комплексных чисел. Функции комплексного переменного: предел, непрерывность. (+смотреть вопрос 6)

4. Ряды функций комплексного переменного: равномерная сходимость, признак Вейерштрасса.

Пусть задана последовательность комплекснозначных функций на множестве , включённом в d-мерное евклидово пространство $mathbb{R}^d$ .

Равномерная сходимость:

Существует функция u(x): Emapstomathbb{C} такая, что:

Факт равномерной сходимости последовательности ${u_k}(x)$ к функции u(x) записывается: ${u_k}(x)rightrightarrows u(x)$

5. Степенной ряд: теорема Абеля, формула Коши-Адамара, область сходимости.

— степенной ряд

При любой степенной ряд сходится.

Теорема (Абеля): пусть сходится в точке , тогда данный ряд сходится в любой точке, что

Доказательство: пусть сходится:

Пусть теперь . Тогда

Пусть , причём , тогда

Ряд сходится как геометрическая прогрессия с показателем меньше 1. Тогда по признаку сравнения наш ряд сходится

Следствие: для , что

— радиус сходимости степенного ряда. — круг сходимости степенного ряда

Теорема10 (Коши-Адамара): рассмотрим степенной ряд , тогда

Пусть , тогда можно рассмотреть 3 случая:

6. Функции комплексного переменного: предел, непрерывность и их связь с функциями действительного переменного.

Рассматривая вопрос непрерывности функции комплексного переменного на самом деле мы приходим к вопросам рассмотрения непрерывности двух функций вещественного переменного u(x, y) и v(x, y) на плоскости .

7. Дифференцируемые и голоморфные функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана.

8. Геометрический смысл аргумента и модуля производной. Понятие конформного отображения.

Если не предполагать голоморфности, то для приращения имеем соотношения

Поскольку , то . В результате имеем

где

В случае голоморфности с учетом соотношении Коши-Римана приращение функции примет вид .Таким образом,

· приращение голоморфной функции «почти» пропорционально приращению ,

· приращение функции — «почти» линейная комбинация приращении .

Здесь «почти» означает с точностью до . Заметим, что , поэтому . Применяя к обеим частям последнего приближенного равенства сначала операцию модуль, затем аргумент комплексного числа имеем

· геометрически означает локальное растяжение в раз, если . Случай соответствует сжатию. Таким образом, модуль производной означает коэффициент локального растяжения или сжатия.

· геометрически означает локальный поворот против часовой стрелки на один и тот же угол , то есть разные вектора , начинающиеся в точке , поворачиваются на один и тот же угол. Таким образом, означает на какой угол надо повернуть , чтобы получить направление соответствующее .

9. Интеграл функции комплексного переменного. Первообразная голоморфной функции: локальная первообразная, первообразная вдоль пути, формула Ньютона-Лейбница.

10. Гомотопия путей с общими концами и замкнутых путей. Теорема Коши.

Кривой или путём на комплексной плоскости mathbb C называется отображение вида varphi(t)colon[0;1]tomathbb C . Особо стоит отметить, что при таком определении можно конкретизировать не только вид кривой, который будет зависеть от аналитических свойств функции , но и её направление. Для примера, функции и будут определять одинаковую по виду кривую, но проходимую в противоположных направлениях.

Кривые varphi_0(t)colon[0;1]tomathbb C и называются гомотопными, если существует кривая xi(t,q)colon[0;1]times[0;1]tomathbb C , зависящая от параметра таким образом, что и xi(t,1)equivvarphi_1 .

Теорема 6. (Коши) Интеграл от голоморфной в области вдоль любых гомотопных в кривых принимает одно и то же значение. Краткая формулировка:

Здесь и всюду в дальнейшем будет обозначать класс голоморфных в функций. Приведем различные эквивалентные формулировки теоремы Коши. Как всегда означает границу области . Когда граница — связное множество, то будем говорить, что — односвязная область.

Теорема 7. (Коши для односвязной области) Интеграл от голоморфной в односвязной области функции вдоль любого замкнутого контура равен нулю.

Кстати, замкнутые кривые часто представляют границы областей. Поэтому справедлива

Пусть . Доказывать надо только для незамкнутых контуров. Рассмотрим замкнутый контур , где — совпадает с контуром , только его ориентация изменена. Тогда найдется односвязная подобласть области , которая содержит замкнутый контур . Из теоремы 7, примененной для односвязной подобласти , следует, что . Отсюда получаем

. Что и доказывает теорему 6.

11. Глобальная теорема существования первообразной для голоморфной функции в односвязной области.

12. Теорема Коши для многосвязной области. Интегральная формула Коши.

Теорема 7. (Коши для односвязной области) Интеграл от голоморфной в односвязной области функции вдоль любого замкнутого контура равен нулю.

Кстати, замкнутые кривые часто представляют границы областей. Поэтому справедлива

Теорема 8. (Коши для многосвязных областей)

Пусть . Если граница — связное множество, то -раздутие

подобласти представляет односвязную область и — замкнутый контур в этом раздутии. Из теоремы 7 для этого раздутия следует, что . (ч. т.д.)

Теорема Коши говорит о равенстве интегралов . Поэтому по своему желанию можно вычислять либо левую, либо правую часть равенства. Обычно выбирают ту, которая легче находится. Применим подобные рассуждения для вычисления интеграла , когда — голоморфная на всей комплексной плоскости функция, а — произвольный замкнутый контур

· Если точка то подынтегральная функция будет голоморфной в некотором — раздутии . Тогда по теореме 7 .

· Если точка то подынтегральная функция будет голоморфной в некоторой проколотой окрестности точки . Каждая окружность с центров в точке гомотопна контуру , так как, не затрагивая точку , можно контур деформировать в указанную окружность. По теореме 6 имеем . Поскольку левая часть последнего равенства не зависит от , то можно записать предельное соотношение

Таким образом, надо найти правую часть последнего равенства.

Следовательно, при имеем формулу , которую называют интегральной формулой Коши. Продифференцировав по обе части приведенной формулы, получим представление для производной . Можно продолжить дифференцирование.

13. Теорема Коши для многосвязной области.

Пусть . Если граница — связное множество, то -раздутие

подобласти представляет односвязную область и — замкнутый контур в этом раздутии. Из теоремы 7 для этого раздутия следует, что .

Если граница — несвязна, то достраиваем мосты, соединяющие несвязные компоненты границы. Причем по одному и тому же мосту производится обход дважды и в разных направлениях. С помощью построенных мостов можно получить замкнутый контур, лежащий в односвязной области. Затем применим теорему 7. Откуда получаем теорему 8 из теоремы7. На рисунке ниже кольцо подобласть области и его граница состоит из двух окружностей. Запомните: граница считается ориентированной, то есть она ориентирована так, что при ее обходе область остается слева. Эти окружности соединяем мостом и обходим его дважды в разных направлениях. Тогда можно получить ориентированную замкнутую линию гомотопную в области контуру (смотри рисунок). Контур можно считать принадлежащим некоторой односвязной области и применить теорему 7 к этой области. Тогда из теоремы 7 будет следовать теорема 8, так как интегралы по дважды обходимому мосту взаимно уничтожаются.

Пояснения к данному рисунку даны выше.

На рисунке не отображена ориентация границы .

Покажите: как надо деформировать в области границу с двойным обходом моста, чтобы получить контур .

14. Ряд Тейлора, теорема единственности, неравенства Коши. Теорема Лиувилля. (+доказать теорему Лиувилля)

Теорема 9.

Упражнение 15. Сформулируйте словесную формулировку теоремы 9.

Замечание для информативности. В теореме 9 разложение осуществляется в некотором круге . То есть разложение локально, так как нет оценки радиуса .

Вопрос для творческих натур. Анализируя доказательство теоремы 9, попробуйте найти максимально возможный радиус .

Доказательство теоремы 9. 1 шаг. Разложение простейшей дроби вида .

2 шаг. Разложение голомофной функции в ряд Тейлора в окрестности фиксированной точки. Пусть — фиксированная точка из области . Выберем круг с центром в точке так, чтобы .

По интегральной формуле Коши найдем значение функции в произвольной точке круга . Теперь используем результат первого шага. , так как выполняется неравенство .

Обе части последнего равенства проинтегрируем согласно интегральной формуле Коши

Отсюда следует, что , где коэффициенты

Теорема 9 доказана.

Уточним теорему 9 в следующем направлении.

Теорема 10. Указанное в теореме 9 разложение единственно.

Доказательство. Допустим, что в круге функция разлагается в ряды и . Надо показать, что . К примеру, . Точно также имеем . Дальше по индукции…Теорема 10 доказана.

15. Свойства голоморфных функций. Гармонические функции. Интегральная формула Коши для производных голоморфной функции.

· Из следует, что внутренние значения голоморфной функции можно находить (восстановить) по значениям на границе . Подобные проблемы восстановления функции по граничным значениям возникают в теории краевых задач.

· Вспомним, что рациональная функция представляется в виде суммы простейших дробей. К примеру, когда , то справедливо разложение . Тогда интегральная формула Коши представляет полный аналог разложения рациональной функции (роль играет ). Следовательно, голоморфная функция обладает многими свойствами рациональных функций.

· Поскольку интегральную формулу Коши можно по параметру неограниченное число раз дифференцировать, то голоморфная функция бесконечно дифференцируема.

· Интегральная формула Коши вместо вычисления интеграла разрешает вычислять значения голоморфной функции или значения ее производной. Действительно

16. Интегральная формула Коши для производных голоморфной функции.

Теорема Коши говорит о равенстве интегралов . Поэтому по своему желанию можно вычислять либо левую, либо правую часть равенства. Обычно выбирают ту, которая легче находится. Применим подобные рассуждения для вычисления интеграла , когда — голоморфная на всей комплексной плоскости функция, а — произвольный замкнутый контур

· Если точка то подынтегральная функция будет голоморфной в некотором — раздутии . Тогда по теореме 7 .

· Если точка то подынтегральная функция будет голоморфной в некоторой проколотой окрестности точки . Каждая окружность с центров в точке гомотопна контуру , так как, не затрагивая точку , можно контур деформировать в указанную окружность. По теореме 6 имеем . Поскольку левая часть последнего равенства не зависит от , то можно записать предельное соотношение

Таким образом, надо найти правую часть последнего равенства.

Следовательно, при имеем формулу , которую называют интегральной формулой Коши. Продифференцировав по обе части приведенной формулы, получим представление для производной . Можно продолжить дифференцирование.

Интегральная формула Коши вместо вычисления интеграла разрешает вычислять значения голоморфной функции или значения ее производной. Действительно

17. Теорема Мореры. Функции, голоморфные в смысле Коши, Римана и Вейерштрасса. Теорема Вейерштрасса о рядах голоморфных функций.

Теорема (Морера ( Th M)). Если функция непрерывна в области и интеграл от нее по границе любого треугольника равен нулю, то .

Доказательство. Для любой точки из области построим круг . Введем функцию по формуле . Покажем, что . Поэтому рассмотрим соответствующее приращение функции Тогда отношение приращений примет вид

18. Нули в голоморфной функции и их кратность. Теорема единственности голоморфной функции.

Теорема 10. Разложение голоморфной функции в ряд Тейлора единственно.

Доказательство. Допустим, что в круге функция разлагается в ряды и . Надо показать, что . К примеру, . Точно также имеем . Дальше по индукции…Теорема 10 доказана.

Следствие 1 Голоморфная функция бесконечное число раз дифференцируема в области голоморфности.

Это следует из того, что таким свойством обладает сумма степенного ряда Тейлора.

Следствие 2.Производные голоморфной функции имеют представления и так далее. Для обоснования достаточно детально проанализировать доказательства теорем 9 и 10.

Следствие 3 Пусть — нуль кратности голоморфной функции , тогда в некоторой окрестности точки справедливо представление Безу , где — голоморная функция, причем

Доказательство. Так как , то из разложения функции в ряд Тейлора в окрестности точки и следствия 2 имеем . Остается обозначить через . Следствие доказано.

Следствие 4 Нули голоморфной функции изолированы.

Это следует из следствия Безу. Так как множитель не может обращаться в нуль в некоторой окрестности точки . Тогда произведение в указанной окрестности может обращаться в нуль только за счет первого множителя , который имеет изолированный нуль .

Следствие 5 Нули голоморфной функции не могут иметь предельных точек, принадлежащих области голоморфности.

Доказательство. Предположим, что существует сходящаяся последовательность нулей , причем их предел где — область голоморфности функции . В силу непрерывности функции имеем , что противоречит изолированности нуля .

19. Аналитическое продолжение: принцип аналитического продолжения.

Факториал определен на натуральных числах, то есть . Осуществим продолжение факториала, следуя методу Коши.

1 шаг. Продолжение в полуплоскость. Гамма-функция Эйлера при задается несобственным интегралом . Покажем, что та же формула позволяет продолжить гамма-функцию в область . Для этого надо доказать, что интеграл сходится при . Это следует из оценок:

1.

2.

3.

Итак, факториал корректно определен и для комплексных чисел.

2 шаг. Продолжение в вертикальную полосу. Следующие преобразования позволяют расширить область определения гамма-функции. При верны равенства

Итак, гамма-функция при представляет сумму трех функций

· Область определения функции есть

· Область определения функции есть , так как функция ограничена на отрезке

· Область определения функции есть

Таким образом, сумма определена на пересечении . Итак нам удалось расширить область определения гамма-функции.

Можно продолжать намеченный процесс неограниченно долго. В результате имеем

Утверждение 5. Гамма — функция Эйлера может быть продолжена на область , причем это продолжение представляет голоморфную функцию.

20. Аналитическое продолжение через границу области: лемма о непрерывной продолжении, принцип симметрии Римана-Шварца. Аналитическая функция в смысле Вейерштрасса.

По Вейерштрассу следующий элемент строится с помощью разложения в ряд Тейлора предыдущего элемента.

Пусть в области определена функция по формуле . Чтобы построить непосредственное аналитическое продолжение элемента выберем произвольно точку и разложим в ряд Тейлора функцию по степеням . В результате имеем , причем радиус сходимости . То есть надо выбирать как можно дальше от единицы. Итак, следующий элемент имеет вид

Шире не продолжить..

21. Ряд Лорана: теорема Лорана, правильная и главная части, теорема единственности, неравенства Коши.

Степенные ряды с целыми показателями степеней называются рядами Лорана. В качестве суммы ряда Лорана ряда можно взять один из пределов

Теорема 15. Голоморфная в открытом кольце функция разлагается в этом кольце в ряд Лорана.

Доказательство. Пусть функция голоморфна в кольце . По произвольной точке из кольца выберем числа так, чтобы . Тогда согласно ИФК имеем

Разложение в степенной ряд для дословно повторяет доказательство теоремы 9, так как в этом случае . Таким образом, Аккуратно запишем разложение в степенной ряд для .

Отсюда имеем соотношение .Теорема доказана.

22. Изолированные особые точки однозначного характера. Теорема Сохоцкого, теорема Пикара.

Изолированная особая точка в зависимости от количества слагаемых в главной части считается:

1. устранимой изолированной особой точкой, если главная часть отсутствует,

2. полюсом порядка , если главная часть содержит только конечное число слагаемых и — показатель наименьшей отрицательной степени в главной части,

3. существенно особой точкой, если в главной части бесконечно много слагаемых.

Примеры.

1.

2.

Если в окрестности полюса и устранимой особой точки поведение функции достаточно регулярно (существует предел), то совсем иначе устроена функция в окрестности существенно особой точки

Теорема 1. (Ю. Сохоцкий – Ф. Казорати) Если является существенно особой точкой функции , то для любого конечного или бесконечного найдется последовательность точек сходящаяся к особой точке и такая, что

Теорема 2. ( Э. Пикар, 1879) В любой окрестности существенно особой точки любая функция принимает все значения, за исключением, быть может, одного.

Доказательство теоремы 1. Так как в окрестности существенно особой точки функция неограниченна, то теорема верна при . Пусть теперь — конечное число. Предположим противное: найдется проколотая окрестность особой точки. функция не принимает значения . Введем функцию по формуле ограничена в окрестности особой точки. Чего не может быть, так как при таком построении сущесвенно особая точка не может стать устранимой особой точкой. Теорема доказана.

23. Целые и мероморфные функции: теорема Вейерштрасса и теорема Миттаг-Леффлера.

До сих пор мы изучали функции, которые являлись голоморфными в некоторой открытой части комплексной плоскости. Теперь исследуем свойства голомофных на всей комплексной плоскости. Голоморфная на всей комплексной плоскости функция называется целой функцией. Приведем некоторые свойства целой функции: 1) Разлагается в ряд Тейлора с бесконечным радиусом сходимости. 2) Нули изолированы без конечных предельных точек.

24. Изолированные особые точки многозначного характера

Точка называется изолированной точкой аналитической функции , если существует проколотая окрестность точки такая, что некоторый элемент , принадлежащий этой функции, продолжается вдоль любого пути из .

Пусть — изолированная особая точка аналитической функции и — вышеуказанная проколотая окрестность точки . Возьмем произвольный замкнутый контур из и содержащий точку внутри. Возможны два случая:

1)Если обход приводит к элементу, отличному от исходного, то точка называется особой точкой многозначного характера или точкой ветвления.

2)Если обход не меняет исходного элемента функции, то точка называется особой точкой однозначного характера.

В первом случае возможен вариант — -кратный обход приводит к исходному элементу. В этом случае точка называется точкой ветвления конечного порядка. Порядок ветвления – это минимальное из возможных .

Теорема 24. (Пюизё, 1850) В некоторой проколотой окрестности точки ветвления конечного порядка аналитическую функцию можно разложить в ряд по нецелым степеням

Доказательство. Замена позволяет точку ветвления порядка свести к особой точке однозначного характера. Дальше надо использовать разложение Лорана.

25. Основные элементарные многозначные функции.

ЕслиТо, поэтому

(37.8)

Тригонометрические функцииОпределяются формулами

Гиперболические функцииОпределяются формулами:

(37.9)

(37.10)

Логарифмическая функцияГдеОпределяется как функция, обрат

ная показательной, причем

Эта функция является многозначной. Главным значениемНазывается такое значение, которое получается при>; оно обозначается через

(37.14)

Очевидно, что

(37.15)

Справедливы следующие равенства:

Обратные тригонометрические функции определяются как функции, обратные соответственно функциям

Например, когдаТоНазывается арксинусом числаИ

Обозначается

Все эти функции являются многозначными; они выражаются через логарифмические функции следующими формулами:

(37.16)

(37.17)

(37.18)

(37.19)

26. Вычеты: определение, теорема Коши. Теорема о полной сумме вычетов.

Вычет функции в изолированной особой точке по определению равен значению интеграла взятого в положительном направлении по окружности достаточно малого радиуса с центром в изолированной особой точке этой функции. Обозначение: . В случае устранимой особой точки и полюса вычеты вычисляются по формулам:

1. , если — конечная устранимая особая точка,

2. , если — простой полюс,

3. , если — полюс порядка два,

4. , если — полюс порядка три,

5. , если — полюс порядка четыре и так далее.

Доказательство формулы 4 (остальные доказываются аналогично). Так как — полюс порядка три, то в окрестности справедливо разложение Лорана . Нам надо вычислить интеграл . Вместо подставим разложение Лорана и учтем результаты упражнения 14, тогда имеем . Таким образом, вычет в точности совпадает с одним из коэффициентов разложения Лорана. Найдем его.

Теорема 19. Вышеприведенный интеграл равен сумме внутренних вычетов подынтегральной функции, то есть

Доказательство. Вокруг каждой особой точки функции , лежащей внутри замкнутого контура, опишем окружность достаточно малого радиуса. Потребуем, чтобы они не пересекались между собой и не пересекали контур . Тогда по теореме 8 имеем

Здесь мы учли ориентацию маленьких окружностей. Теорема доказана.

Теорема 20. Если функция имеет только конечное число особых точек однозначного характера, то сумма всех вычетов этой функции равна нулю.

27. Интеграл типа Коши.

Выражение где  — аналитическая функция на замкнутой области ,

ограниченной положительно ориентированным контуром , называется интегралом Коши. Если  лежит внутри , то интеграл равен , если же  лежит вне ,то  — аналитическая функция на  и, следовательно, интеграл Коши равен нулю.

Пусть теперь  — любая кусочно-гладкая ориентированная кривая, не обязательно замкнутая, и  — непрерывная функция, определенная вдоль . Выражение

(1)

называется интегралом типа Коши. Оно представляет собой функцию , определенную вне .

Теорема 1. Интеграл (1) типа Коши есть аналитическая функция  для всех .

Производная порядка  от  вычисляется по формуле

   (2)

28. Логарифмический вычет. Принцип аргумента и теорема Руше.

Теорема 26. Интеграл равен деленному на приращению аргумента функции при однократном обходе ориентированной границы подобласти .

Доказательство. Запишем уравнение границы в параметрическом виде . Тогда имеем

Теорема доказана.

Теорема 27. (Руше) Если удается разложить на сумму , так что

1) — голоморфная функция в ,

2) на границе области справедлива оценка или ,

то . Таким образом, вместо того чтобы решать задачу 2 для уравнения достаточно решить задачу 2 для уравнения .

29. Принцип максимума модуля. Лемма Шварца.

30. Теорема Монтеля (принцип компактности). Теорема Гурвица.

Теорема 34. (Принцип компактности) Из любой равномерно ограниченного внутри семейства голоморфных функций в области можно выделить равномерно сходящуюся на любом компакте из последовательность.

· Лемма 1. Из любой последовательности, подчиненной условиям теоремы 34, можно выделить сходящуюся в каждой точке наперед заданного счетного, всюду плотного в множества.

· Лемма 2. Равномерно ограниченное внутри семейство голоморфных функций равностепенно непрерывно внутри .

· Лемма 3. Если последовательность, удовлетворяющая условиям теоремы 34, сходится в каждой точке всюду плотного в множества, то она равномерно сходится на каждом компакте из .

Теорема 35. (Гурвиц) Пусть последовательность , голоморфных в области , равномерно на любом компакте из сходится к непостоянной функции . Тогда, если , то в любом круге все функции (при некотором ) обращаются в нуль.

Доказательство. Так как последовательность функции сходится равномерно к функции , то интеграл по произвольному треугольнику функции есть предел интегралов по тем же треугольникам последовательности . Такой предел равен нулю. Тогда по теореме Мореры предельная функция голоморфна на каждом компакте. Ясно, что ее нули изолированы. Возьмем проколотую окрестность ее нуля, где предельная функция не обращается в нуль. Найдем минимум модуля предельной функции на границе этой (уже не проколотой) окрестности. Ясно, что этот минимум отличен от нуля. Обозначим его через . Выберем номер так, чтобы выполнялось

Тогда по теореме Руше уравнения и в указанной выше окрестности имеют одинаковое число нулей. То есть имеет нули в указанной окрестности. Теорема доказана.