Показательная функция комплексного переменного

  Таким образом, возникает пара линейных функций двух переменных, однако, не произвольных, а связанных между собой. Систему (2.1) можно рассматривать как линейное отображение плоскости  на плоскость , задаваемое матрицей

, то есть .

  Определитель матрицы равен , так как  и, следовательно, она обратима. Для выяснения геометрических свойств полученного отображения воспользуемся тригонометрической формой числа , то есть пусть . Тогда  и , и

.

  Как известно, матрица справа определяет поворот плоскости вокруг начала координат на угол , а умножение на положительное число дает растяжение плоскости. При этом , а . При указанных преобразованиях сохраняются углы между векторами на плоскости. Такие преобразования называются линейными конформными. Итак, линейная функция комплексного переменного порождает конформное линейное отображение комплексной плоскости.

  Рассмотрим теперь функцию . Здесь , т. е. , . Эти равенства порождают отображение симметрии относительно действительной оси.

  Показательная функция комплексного переменного. По определению полагают

.                                      (2.2)

Очевидно, что при  будет . Таким образом показательная функция является продолжением вещественной показательной функции на всю комплексную плоскость.

  Выделим ее действительную и мнимую части

, 

модуль и аргумент, то есть  и .

  Свойства показательной функции.

  Также как и для вещественной функции показатели степени складываются при перемножении значений функции, то есть

        (2.3)

для любых  и  из .

  В самом деле, числа  и  по определению выступают в тригонометрической форме:

  и 

Поэтому их произведение легко находятся

                                (2.4)

(модули перемножаются, а аргументы складываются). Но то, что стоит справа в (2.4) — это по определению равно  так как для вещественных  и  справедливо .

  Из равенства (2.3) сразу следует, что

.

  Легко видеть, что , и поэтому

при любом  Это означает, что комплексная показательная функция оказывается периодической с комплексным периодом . Понятно, что любое число вида  при целом  также будет периодом. Можно проверить, что никаких других периодов показательная функция не имеет.

  Множество значений показательной функции.

  Подстановка чисел ,  в формулу (2.2) дает

,  ,

то есть среди значений этой функции оказываются и отрицательные и мнимые числа. Очевидно, что всегда , так как , то есть нуль в число значений показательной функции не входит. Это не удивительно, поскольку вещественная показательная функция вообще принимает только строго положительные значения. Более поразительным оказывается то, что комплексная показательная функция принимает все неравные нулю значения. Иными словами, уравнение