Плотность распределения и ее свойства

11. Плотность распределения и ее свойства.

Опр: случ вел-на Х наз-ся непрерывной, если ее ф-ция распред-я непрерывно диффер-ма.

Т: Если Х-непрер случ вел-на, то вер-ть того, что р(Х=х)=0.

Опр: Если через предел средней плотности распространения вероятностей при , то этот предел наз-ся плотностью распростр-я случ вел-ны Х в точке х и обзнач-ся f(x): . Т. о. f(x)=F`(x), т. е. плотность распред-я = производной ф-ции распред-я.

Если сущ-ет такая неотрицат ф-ция f(x)>=0, что , то говорят, что случ вел-на Х имеет плотность f(x).

Св-ва плотности распред-я: 1) f(x)≥0; 2) p(a<X<b)=; 3) ; 4) f(x)=F`(x).

12. Математическое ожидание и дисперсия д. с.в. Свойства.

Мат ожидание дискр случ вел-ны — сумма произведений значений случ вел-ны и соответствующей им вер-ти: М(Х)=.

Дисперсия – мера рассеяния значений случ вел-ны вокруг своего среднего значения. Дисперсия дискр случ вел-ны: математ ожидание квадрата отклонения случ вел-ны от его М(Х): D(X)=M.

СВ-ва М(Х):

1.  М(С)=С

2.  М(Х+У)=М(Х)+М(У)

3.  М(Х*У)=М(Х)*М(У)

4.  М(к*Х)=к*М(Х)

5.  М(Х-У)=М(Х)-М(У)

6.  М(Х-М(Х))=0

Св-ва Д(Х):

1.  Д(С)=0

2.  Д(к*Х)=*Д(Х)

3.  Д(Х+У)=Д(Х)+Д(У)

4.  Д(Х-У)=Д(Х)+Д(У)

5.  Д(Х)=М()- (Х)

13. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

Опр: если сущ-ет предел интегрир-я суммы при , то он наз-ся матем ожиданием непрер случ вел-ны: M(X)=.

D(X)==, .

Ф-ция распределения: F(x)=p(X<x)=.

Плотность: f(x)>=0, =1

f(x)=F`(x), p(X=a)=0,

p(a<X<b)=F(b)-F(a)=

p(X<a)=F(a)=,

p(X>b)=1 — F(b)=

14. Формула Бернулли.

Опр: несколько повторных испыт наз-ся незав, если вер-ть того или иного испытания не зав от того, какие результаты были получены в др испытаниях. Пусть произведено n незав испыт. Вер-ть появления А при каждом испыт постоянна: p(A)=p, тогда р()=1-p=q. – вер-ть того, что при n испытаниях А наступило ровно m раз.

– ф-ла Бернулли, (m=0,1,2,…,n).

15. Наивероятнейшая частота.

Найвер частота – частота, кот соотв-ет наиб вер-ть в данной серии испытаний: . Примечания: 1) правая часть отличается от левой на единицу: np+p-np+q=p+q=1; 2)если (np-q) – дробное число, то в силу прим.1 (np+p) – тоже дробное число и принимает одно целое значение; 3) если левая и правая части целые числа, то , .

16. Формула Пуассона.

Теорема: пусть произведено n незав испытаний. Вер-ть появления события А при каждом из этих испытаний постоянна и =р, тогда при достаточно больших n и малых р (0<р≤0,1) и пост вел-на: – ф-ла Пуассона (з-н редких событий).

17. Локальная теорема Лапласа.

Теорема: пусть при каждом из n незав испытаний р(А)=р, постоянна и не равна 0 и 1, тогда при достаточно большом числе испытаний вер-ть того, что при этих испытаниях событие А наступило ровно m раз: , где – ф-ция Гаусса, , (при больших m и npq>9).

18. Биномиальный закон распределения(ДСВ).

Опр: случайная вел-на Х наз-ся распределенной по биномин з-ну, если она принимает значение m с вер-тью: , (m=0,1,2,…,n). , M(X)=np, D(X)=npq, где Х=, где Хі – число появления событий при і-том испытании.

Примечание: опред матем ожид, дисперсию и среднеквадратичное отклонение относительно частоты: M(m/n)=p, D(m/n)=(pq)/n.

19. Закон распределения Пуассона (ДСВ).

Опр: случ вел-на Х, кот принимает значение m с вер-тью

, (m=0,1,2,…,n), где , наз-ся распред по з-ну Пуассона с параметром . M(X)=, D(X)=.