Учебные материалы по математике | Первообразная функция и неопределенный интеграл | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Первообразная функция и неопределенный интеграл


СОДЕРЖАНИЕ

1.  Первообразная функция и неопределенный интеграл

2.  Таблица простейших интегралов

3.  Интегрирование методом замены переменной

4.  Метод интегрирования по частям

5.  Понятие о неберущихся в конечном виде интегралах

6.  Интегрирование рациональных функций

7.  Интегрирование тригонометрических рациональных выражений

8.  Интегрирование простейших иррациональных выражений

Н Е О П Р Е Д Е Л Ё Н Н Ы Й И Н Т Е Г Р А Л

1. Первообразная функция и неопределенный интеграл

Восстановление функции F(x) по известной производной этой функции F’(x)=f (x) (или по известному ее дифференциалу dF(x)=f(x)dx) называется интегрированием, а искомая функция F(x) называется первообразной функцией.

Всякая функция f(x) имеет бесчисленноемножество различных первообразных функций, отличающихся друг от друга на постоянное слагаемое, т. е. если F(x) – первообразная для f(x), то и F(x)+C, где С — произвольная постоянная, есть также первообразная для f(x), действительно

[F(x)+C]’=F(x)=f(x). Cовокупность всех первообразных F(x)+C одной и той же функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается символом

, (1)

где x — переменная интегрирования, f(x) — подынтегральная функция, f(x)dx — подынтегральное выражение.

Геометрически, графики всех первообразных функций для f(x) представляют в системе координат XOY семейство кривых, которые получаются одна из другой путем параллельного переноса вдоль оси Y на величину С.

Как следует из понятия неопределенного интеграла, интегрирование и нахождение дифференциала являются обратными действиями. Действительно, если первообразная, а значит и неопределенный интеграл для функции f(x) существует, то подынтегральное выражение представляет собой дифференциал любой из этих первообразных

f(x)dx=F'(x)d(x)=dF(x),

тогда

df(x)dx=d[F(x)+C]=F'(x)dx=f(x)dx, (2)

dF(x)= f(x)dx=F(x)+C, (3)

т. е. знаки d и взаимно сокращаются.

Укажем основные свойства неопределенного интеграла, правильность которых можно проверять дифференцированием.

І. Постоянный множитель выносится за знак интеграла.

∫Af(x)dx=A∫ f(x)dx (4)

2. Интеграл от алгебраической суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов.

[f(x)± φ(x)]dx=∫f(x)dx ±∫φ(x)dx . (5)

3. Неопределенный интеграл не зависит от выбора переменной интегрирования.

f(u)du= F(u)+C, (6)

где u — независимая переменная или функция x, u=u(x). Этот результат следует непосредственно из правила дифференцирования сложной функции

; , ,

тогда

.

4. Интеграл ∫udv может быть сведен к интегралу ∫vdu.

Из формулы дифференцирования произведения двух функций d(uv)=udv+vdu

интегрированием получается следующее равенство

udv = uv – ∫vdu, (7)

которое называется формулой интегрирования по частям.

2. Таблица простейших интегралов

Пользуясь тем, что интегрирование – операция обратная вычислению дифференциала можно записать основные формулы интегрирования

1. α ≠ -1

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Для полноты таблицы добавим еще две формулы.

10.

11.

В этих формулах u — независимая переменная или функция от независимой переменной, a – постоянная (в формуле 7 а ).

Приведем простейшие примеры вычисления интегралов:

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

1.Разлагая интеграл 1 по свойству 2 на три интеграла и вынося постоянный множитель за знак интеграла (свойство 1), приведем интеграл к следующему виду:

далее первый и второй интегралы вычисляются по формуле 1 таблицы, а

в третьем — знаки ∫ и d взаимно сокращаются (интегрирование и взятие дифференциала – обратные действия).

.

2.Интеграл табличный, формула 3.

3.Подынтегральная функция (пр.3) может быть преобразована и сведена к разности двух функций, а значит к двум интегралам, интегрируемых по формуле 1 таблицы.

Для вычисления различных интегралов дополним таблицу определенными приёмами и методами интегрирования.

3. Интегрирование методом замены переменной.

Метод замены переменной или подстановки является одним из самых эффективных приемов интегрирования и вытекает из свойства 3.

Пусть требуется вычислить , во многих случаях удается в качестве новой переменной выбрать такую функцию u=u(x) , чтобы подынтегральное выражение представилось в виде

,

тогда достаточно найти интеграл

чтобы из него подстановкой u=u(x) получить искомый интеграл, т. е.

(9)

Рассмотрим частный случай замены переменной, если ∫ f(x)dx=F(x)+C, то

(8)

Действительно, , тогда

т. е. и функция оказывается первообразной

для f(ax+b).

Пример 4.

Пример 5. .

Пример 6.

Пример 7.

так как , то полагая , получим

При выборе подстановки , упрощающей подынтегральное выражение, нужно помнить, что в его составе должен найтись множитель , дающий дифференциал новой переменной. В примере 7- это множитель

Приведем ряд примеров на вычисление интегралов, которые заменой переменной сводятся к табличным.

Пример 8.

полагаем тогда и

.

Пример 9.

Замена подставляя новую переменную в исходный интеграл, получим

Пример 10.

В состав подынтегрального выражения входит множитель , являющийся

дифференциалом функции lnx , отсюда подстановка u=lnx, du=d(lnx) т. е.

Пример 11.

Подстановка x3 = u, du=3x2dx сводит искомый интеграл к другому интегралу, который является табличным.

ΩΩΩ

Интегрирование дробей, содержащих квадратный трехчлен

(10)

при условии, что квадратный трехчлен x2 +px+q не имеет действительных корней .

Для вычисления интеграла из квадратного трехчлена выделяется полный квадрат двучлена т. к. , то подстановка приводит к следующей замене

Искомый интеграл принимает следующий вид:

Первый интеграл аналогичен интегралу из примера 8, второй табличный

/формула 6/.

Пример 12.

Выделяем полный квадрат x2 +4x+10=(x2+4x+4)+(10-4), делаем замену x+2=u, тогда 3x-1=3u-7, du=dx, подставляем в интеграл

4. Метод интегрирования по частям

Согласно свойству 4 вычисление интеграла может быть сведено к отысканию другого интеграла . Применение формулы целесообразно, если будет проще, чем или подобен ему. Для применения формулы интегрирования по частям к интегралу следует подынтегральное выражение представить в виде произведения двух множителей u и dv . За dv выбирается выражение, которое содержит dx, и из которого v можно получить непосредственным интегрированием, за u , как правило, принимается функция, которая при дифференцировании упрощается, например lnx, arctgx и т. д.

Пример 13.

Примем за , тогда , подставляя в формулу (7), получим

Второй интеграл вычисляется подстановкой , окончательный результат

Пример 14.

Принимаем за , находим подставляем в (7)

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод