Вузы по математике
Готовые работы по математике
Как писать работы по математике
Примеры решения задач по математике
Решить задачу по математике onlineПервообразная функция и неопределенный интеграл
СОДЕРЖАНИЕ
1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
2. Таблица простейших интегралов
3. Интегрирование методом замены переменной
4. Метод интегрирования по частям
5. Понятие о неберущихся в конечном виде интегралах
6. Интегрирование рациональных функций
7. Интегрирование тригонометрических рациональных выражений
8. Интегрирование простейших иррациональных выражений
Н Е О П Р Е Д Е Л Ё Н Н Ы Й И Н Т Е Г Р А Л
1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
Восстановление функции F(x) по известной производной этой функции F’(x)=f (x) (или по известному ее дифференциалу dF(x)=f(x)dx) называется интегрированием, а искомая функция F(x) называется первообразной функцией.
Всякая функция f(x) имеет бесчисленное
множество различных первообразных функций, отличающихся друг от друга на постоянное слагаемое, т. е. если F(x) – первообразная для f(x), то и F(x)+C, где С — произвольная постоянная, есть также первообразная для f(x), действительно
[F(x)+C]’=F‘(x)=f(x). Cовокупность всех первообразных F(x)+C одной и той же функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается символом 
, (1)
где x — переменная интегрирования, f(x) — подынтегральная функция, f(x)dx — подынтегральное выражение.
Геометрически, графики всех первообразных функций для f(x) представляют в системе координат XOY семейство кривых, которые получаются одна из другой путем параллельного переноса вдоль оси Y на величину С.
Как следует из понятия неопределенного интеграла, интегрирование и нахождение дифференциала являются обратными действиями. Действительно, если первообразная, а значит и неопределенный интеграл для функции f(x) существует, то подынтегральное выражение представляет собой дифференциал любой из этих первообразных
f(x)dx=F'(x)d(x)=dF(x),
тогда
d∫f(x)dx=d[F(x)+C]=F'(x)dx=f(x)dx, (2)
∫dF(x)=∫ f(x)dx=F(x)+C, (3)
т. е. знаки d и ∫ взаимно сокращаются.
Укажем основные свойства неопределенного интеграла, правильность которых можно проверять дифференцированием.
І. Постоянный множитель выносится за знак интеграла.
∫Af(x)dx=A∫ f(x)dx (4)
2. Интеграл от алгебраической суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов.
∫[f(x)± φ(x)]dx=∫f(x)dx ±∫φ(x)dx . (5)
3. Неопределенный интеграл не зависит от выбора переменной интегрирования.
∫f(u)du= F(u)+C, (6)
где u — независимая переменная или функция x, u=u(x). Этот результат следует непосредственно из правила дифференцирования сложной функции
; 
, 
,
тогда
.
4. Интеграл ∫udv может быть сведен к интегралу ∫vdu.
Из формулы дифференцирования произведения двух функций d(uv)=udv+vdu
интегрированием получается следующее равенство
∫udv = uv – ∫vdu, (7)
которое называется формулой интегрирования по частям.
2. Таблица простейших интегралов
Пользуясь тем, что интегрирование – операция обратная вычислению дифференциала можно записать основные формулы интегрирования
1. 
α ≠ -1
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
Для полноты таблицы добавим еще две формулы.
10. 
11. 
В этих формулах u — независимая переменная или функция от независимой переменной, a – постоянная (в формуле 7 а ).
Приведем простейшие примеры вычисления интегралов:
Пример 1. 
Пример 2. 
Пример 3. 
1.Разлагая интеграл 1 по свойству 2 на три интеграла и вынося постоянный множитель за знак интеграла (свойство 1), приведем интеграл к следующему виду:
далее первый и второй интегралы вычисляются по формуле 1 таблицы, а
в третьем — знаки ∫ и d взаимно сокращаются (интегрирование и взятие дифференциала – обратные действия).
.
2.Интеграл табличный, формула 3.
3.Подынтегральная функция (пр.3) может быть преобразована и сведена к разности двух функций, а значит к двум интегралам, интегрируемых по формуле 1 таблицы.
Для вычисления различных интегралов дополним таблицу определенными приёмами и методами интегрирования.
3. Интегрирование методом замены переменной.
Метод замены переменной или подстановки является одним из самых эффективных приемов интегрирования и вытекает из свойства 3.
Пусть требуется вычислить 
, во многих случаях удается в качестве новой переменной выбрать такую функцию u=u(x) , чтобы подынтегральное выражение представилось в виде
,
тогда достаточно найти интеграл
чтобы из него подстановкой u=u(x) получить искомый интеграл, т. е.
(9)
Рассмотрим частный случай замены переменной, если ∫ f(x)dx=F(x)+C, то
(8)
Действительно, 
, тогда 
т. е. 
и функция 
оказывается первообразной
для f(ax+b).
Пример 4. 
Пример 5. 
.
Пример 6. 
Пример 7. 
так как 
, то полагая 
, получим
При выборе подстановки 
, упрощающей подынтегральное выражение, нужно помнить, что в его составе должен найтись множитель 
, дающий дифференциал новой переменной. В примере 7- это множитель 
Приведем ряд примеров на вычисление интегралов, которые заменой переменной сводятся к табличным.
Пример 8. 
полагаем 
тогда 
и
.
Пример 9. 
Замена подставляя новую переменную в исходный интеграл, получим
Пример 10. 
В состав подынтегрального выражения входит множитель 
, являющийся
дифференциалом функции lnx , отсюда подстановка u=lnx, du=d(lnx) т. е.
Пример 11. 
Подстановка x3 = u, du=3x2dx сводит искомый интеграл к другому интегралу, который является табличным.
ΩΩΩ
Интегрирование дробей, содержащих квадратный трехчлен
(10)
при условии, что квадратный трехчлен x2 +px+q не имеет действительных корней 
.
Для вычисления интеграла из квадратного трехчлена выделяется полный квадрат двучлена 
т. к. 
, то подстановка 
приводит к следующей замене 
Искомый интеграл принимает следующий вид:
Первый интеграл аналогичен интегралу из примера 8, второй табличный
/формула 6/.
Пример 12. 
Выделяем полный квадрат x2 +4x+10=(x2+4x+4)+(10-4), делаем замену x+2=u, тогда 3x-1=3u-7, du=dx, подставляем в интеграл
4. Метод интегрирования по частям
Согласно свойству 4 вычисление интеграла 
может быть сведено к отысканию другого интеграла 
. Применение формулы 
целесообразно, если будет проще, чем или подобен ему. Для применения формулы интегрирования по частям к интегралу следует подынтегральное выражение 
представить в виде произведения двух множителей u и dv . За dv выбирается выражение, которое содержит dx, и из которого v можно получить непосредственным интегрированием, за u , как правило, принимается функция, которая при дифференцировании упрощается, например lnx, arctgx и т. д.
Пример 13. 
Примем за 
, тогда 
, подставляя в формулу (7), получим
Второй интеграл вычисляется подстановкой 
, окончательный результат
Пример 14. 
Принимаем за 
, находим 
подставляем в (7)
Скидка 30% по промокоду Diplom2020
Получи промокод на скидку 20%
