Переход от одного базиса к другому

При сложении двух элементов складываются их соответствующие координаты, при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число.

Переход от одного базиса к другому

в линейном пространстве.

Рассмотрим n–мерное линейное пространство и в нём два базиса b=(b1, b2, … bn) и c=(c1, c2, …, cn).

Так как в линейном пространстве любой элемент можно выразить через элементы базиса, то, следовательно, можно все cj (как элементы пространства) выразить через базис b.

cj= a1j b1+ a2jb2+ …+ anjbn , j=1¸ n

c=bU

c и b строки из базисных элементов,

U — матрица перехода от базиса b к базису c.

U = — матрица перехода от b к c.

Теорема 2

Доказательство:

все c линейно независимы Þ столбцы линейно независимы Þ её ранг равен n Þ она невырождена.

Если есть три базиса b, c и d в некотором пространстве и c=bU, d=cV, тогда d=cV=(bU)V=b(UV).

UV — матрица перехода от b к d .

Преобразование координат при переходе к новому базису

b — старый базис

c — новый базис

U = — матрица перехода от b к c.

— координаты вектора x в базисе b.

— координаты вектора x в базисе c.

x=x’1c1+x’2c2+…+x’ncn= x’1( a11b1+ a21b2+…+ an1bn)+

+x’2(a12b1+ a22b2+… annbn)+…+x’n(a1nb1+ a2nb2+…+ annbn)=

=(x’1a11+x’2a12+…+x’na11n)b1+

x1

+( x’1a21+x’2a22+…+x’na12n ) b2+…+

x2

…

+( x’1an1+x’2an2+…+x’na1nn ) bn=

xn

=x1b1+x2b2+…+xnbn

= U

Пример:

b: b1=(1;1;0), b2=(1,0,1), b3=(0;1;1) – старый базис,

c: c1=(1;1;1), c2=(1;2;0), c3=(-1;0;0) –новый базис,

ac=(1.5; -2; 3),

найти ab

найдём U — матрицу перехода от базиса b к базису c.

c=bU

(c1, c2, c3)=(b1, b2, b3)

сначала составим систему уравнений для c1

решая эту систему получим

a11=0.5, a21=0.5, a31=0.5,

теперь составим систему для c2

получим

a12=0.5, a22=-0.5, a32=0.5,

аналогично для вектора с3

a13=-0.5, a23=-0.5, a33=0.5

итак, матрица перехода от базиса b к базису с

U=

Чтобы получить координаты a в базисе b (ab) надо U умножить на ac

U= =

Интересно рассмотреть вектор c1 в базисе b

 

=