Параллельный перенос

Некоторые св-ва движения:

10. F переводит прямую в прямую, а ║ прямые в ║.

20. F переводит полуплоскость с границей а в полуплоскость с границей а‘, где а‘ – образ прямой а.

30. F сохраняет простое отношение трёх точек. АВ/ВС= А’В’/В’С’

40. F сохраняет отношение "лежать м/д".

50. F переводит отр. АВ в отр. А’В’, где А’,В’ – образы точек А, В. При этом середина отр. АВ переходит в серед. отр. А’В’.

60. F переводит луч в луч, а угол в равный ему угол.

70. F переводит взаимо┴ прямые во взаимо┴ прямые.

Параллельный перенос. Св-ва.

¨  (T) Параллельным переносом на данный вектор ав наз-ся отображение плоскости на себя, при к-ом каждая т.М отображ-ся в т.М’, такую, что ММ’=АВ.

Чтобы задать Т достаточно указать АВ, либо задать к.-нибудь точку и её образ. Св-ва Т: 10. Т явл-ся F.

Пусть задан Т на АВ и М’N‘- образы данных точек М и N при заданном Т.

ММ’=АВ│ММ’=NN‘ММ’║NN‘ММ’NN‘-

NN‘=АВ │парал-ммМN=М’N‘,т. е. Т сохраняет расст-е F

Следствие: при Т любая фигура отображ-ся на = ей фигуру.

20. Образом прямой при Т явл-ся ║ей прямая, а образом луча–↑↑ ему луч.

 Т. к.Т явл-ся движ-ем, то образом прямой в явл-ся некот. прямая в‘, в= в‘.

Пусть т.А,В Є в и А’,В’ Є в‘ – образы этих точек при заданном Т. Тогда АА’=ВВ’ и АА’ВВ’- парал-ммАВ║А’В’, то в║в‘.

30. Любое F, к-ое каждый луч отображает в  ему луч явл. Т.

 Пусть F–движ-е, к-ое каждый луч отображает в  ему луч.

А-некот. точка плоскости, А’= F(А)

Пусть дана т.Х≠А. Тогда F отобразит луч АХ на  ему луч А’Х’.

Образом т.Х будет такая т.Х’ Є лучу А’Х’, что А’Х’=АХ, т. к. F-движ-есохраняет расстояние. Тогда А’Х’=АХ.

При переносе на АХ т.А’ переходит в т.Х’.

А’Х’АХ-парал-ммАА’=ХХ’, а по опред-ю Т это означает, что F явл-ся Т. Т. к. Т явл-ся F, то он обладает всеми его св-вами.

Тождест-ые преобраз-я плоскости Е можно рассматривать как Т на нулевой вектор.

Поворот на плоскости. Св-ва поворота.

¨  (П) Поворотом плоскости вокруг т. О на данный угол L в заданном направлении наз-ся отображ-е плоскости на себя, при к-ом т.О отображ-ся на себя, а любая т.Х отображ-ся на такую т.Х’, что 1) ОХ’=ОХ, 2) ےХОХ’=ےL, отложенному от луча ОХ в заданном направлении.

Тождественное преобраз-е плоскости Е м. рассматривать как поворот на О0.

Если центр поворота т.О и углы поворота заданы, и указаны направления, то образ т.Х строится в следующей послед-ти: 1)строим луч ОХ;

2)от луча ОХ отклад-ем в заданном направлении ےL;

3)на полученном луче ОА отмечаем т.Х’,такую что ОХ’=ОХ.

Теор. Поворот плоскости явл-ся движ-ем.

 Пусть П –поворот плоскости вокруг т.О на заданный ےL против часовой стрелки. (в направлении по часовой стрелке рассматрив-ся аналогично).

а) Пусть т.М, N лежат на одной прямой с центром поворота О и М’, N‘-их образы.

отр. NМ=ОМ±ОN , N‘М’=ОМ’±ОN‘

знаки в обоих равенствах совпадают. Т. к. при повороте ОМ=ОМ’, ОN=ОN‘NМ=N‘М’ т. е. расстояние м/д точками при повороте сохранилось.

б) Пусть т.М,N не лежат на одной прямой с т.О.

ےМОN=ےL—NОМ’ │

ےМ’ОN‘=ےNОN‘–NОМ’=ےL—NОМ’│ ےМОN=ےМ’ОN‘

Кроме того, ОМ=ОМ’, ОN=ОN‘ по опред-ю Т тогда МОN=М’ОN‘ по двум сторонам и углу м/д ними  МN=М’N‘, т. е. при П расстояние сохраняется и П-это F

Следствие: при П любая фигура отображ-ся на равную ей фигуру. Т. к. П-это F, то он обладает всеми св-вами F.

Симметрия на плоскости относительно оси.

¨  т.М и М’ наз-ся симметричными относит-но прямой р, если эта прямая ┴ отрезку ММ’ и проходит ч/з его середину.

Считается, что каждая точка прямой р симметрична самой себе относительно р.

¨  (Sр) Симметрией с осью р наз-ся отображ-е плоскости на себя, при к-ом каждая т.М плоскости отображ-ся на симметричную ей т.М’ относительно р.

¨  Симметрию с осью р наз-ют так же осевой симметрией.

Теор. Осевая симметрия явл-ся движением.

 Пусть М и N –точки плоскости.

М’ и N‘ – их образы при Sр. Докажем, что МN= М’N‘

Если М,N Є р, то это равенство очевидно. Пусть хотя бы одна из точек М/Єр, тогда рассмотрим 3 случая:

а) МN║р очевидно, что М’N‘║р, т. е. МN║М’N‘

ММ’║NN‘ как два ┴ к одной прямой  NМN‘М’-парал-мм NМ=N‘М’

б) М,N Єа, а ┴ р

Тогда образы этих точек М’,N‘ будут лежать на этой же прямой.

По опред-ю осевой симметрии ОМ=ОМ’, ОN=ОN‘

МN=М’N‘ Выразим отр: МN=ОМ±ОN

В обоих случаях берутся одинаковые знаки М’N‘=ОМ’±ОN‘

в) МN ╫, /┴ р

Проведём из М и М’ ┴ -ры МК и М’К’ к прямой NN‘. Тогда К и К’ симметричны относит-но р (Sр), т. е. КВ=ВК’, т. к. NВ=ВN‘, то NК= К’N‘ как разность двух равных отрезков.

ММ’К’К-прал-мм  МК=М’К’ тогда МNК=М’N‘К’ как прямоуг-к по двум категориям, тогда МN=М’N‘.

Т. о. осевая симметрия сохраняет расстояние м/д точками и  F

Т. к. Sр — F, то она обладает всеми св-вами движ-я.

Симметрия на плоскости относит-но точки.

¨  т.М и М’ наз-ся симметричными относит-но т.О, если т.О-середина отр.ММ’.

¨  т. О наз-ся центром симметрии, она симметрична сама себе.

¨  (Z0) Центральной симметрией относит-но некоторой точки наз-ся отображ-е плоскости на себя, при к-ом каждая т.М переходит в т.М’ симметричную ей относит-но указанной точки

ےМОМ’=1800 Z0 м. рассматривать как П на 1800.

Теор. Z0 явл-ся движением.  Следует из того, что поворот – F.

Гомотетия. Основные св-ва.

¨  (Нk0) Гомотетия с центром О и коэф-том подобия k≠0 наз-ся отображ-ем плоскости на себя, при к-ом образом любой т.М явл-ся т.М’ такая, что ОМ’= k · ОМ

% Построить  гомотетичный АВС с: 1) k=2 , 2) k= — ½

k=2 ОА’=2 ОА, ОВ’=2 ОВ, ОС’=2 ОС

При Нk0 с k=1 образом любой точки явл-ся сама эта точка, т. е. тождест-ое преобраз-е м. рассматривать как Нk0 с k=1.

При Нk0 с k= —1, каждая точка м. отображ-ся в такую, что ОМ’= — ОМ, т. е. т. М и М’ будут симметричны относит-но  Нk0 – явл-ся центром симметрии – т.О.