Отыскание целых и рациональных корней многочлена
Следствие: В кольце неприводимы только многочлены первой степени и многочлены второй степени, ассоциированные с многочленами вида
, где
любые действительные числа и
.
Теорема 5. Любой многочлен положительной степени из кольца
можно единственным образом представить в виде
, где
,
.
– не имеют действительных корней, то есть
.
Следствие 1: Любой многочлен с действительными коэффициентами имеет чётное число мнимых корней.
Следствие 2: Многочлен нечётной степени с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень.
ВОПРОС № 10 Корни многочлена. Отыскание целых и рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами.
Пусть — кольцо многочленов одной переменной х над полем рациональных чисел
.
Опр.1. Рациональное число с называется корнем многочлена , если
Легко видеть, что отыскание рациональных корней многочлена сводится к отысканию рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами. Действительно, если
, то умножив
на общий знаменатель d всех его коэффициентов, мы получим многочлен
с целыми коэффициентами, имеющий с многочленом
одинаковые рациональные корни, так как
Для отыскания рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами существует простой способ, вытекающий из следующей теоремы:
Теорема 1. Если рациональное число где
, является корнем многочлена
с целыми коэффициентами, то р является делителем свободного члена многочлена
, а q – делителем старшего коэффициента многочлена
.
Доказательство: Пусть , где
,
,
.
Так как — корень
, то
.
Умножим обе части равенства на
, получим
. Перепишем это равенство в виде:
Аналогично, переписав равенство в виде:
▲.
Доказанная теорема дает способ отыскания всех рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами. Этот способ заключается в следующем:
1) находим все целые делители свободного члена многочлена
:
;
2) находим все целые делители старшего коэффициента многочлена
:
;
3) составляем все возможные дроби ,
,
.
4) Не обязательно все получившиеся числа будут корнями многочлена
, но все рациональные корни будут находиться среди этих чисел. Поэтому, вычисляя
для всех