Отыскание целых и рациональных корней многочлена

Следствие: В кольце неприводимы только многочлены первой степени и многочлены второй степени, ассоциированные с многочленами вида , где любые действительные числа и .

Теорема 5. Любой многочлен положительной степени из кольца можно единственным образом представить в виде

, где , . – не имеют действительных корней, то есть .

Следствие 1: Любой многочлен с действительными коэффициентами имеет чётное число мнимых корней.

Следствие 2: Многочлен нечётной степени с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень.

ВОПРОС № 10 Корни многочлена. Отыскание целых и рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами.

Пусть — кольцо многочленов одной переменной х над полем рациональных чисел .

Опр.1. Рациональное число с называется корнем многочлена , если

Легко видеть, что отыскание рациональных корней многочлена сводится к отысканию рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами. Действительно, если , то умножив на общий знаменатель d всех его коэффициентов, мы получим многочлен с целыми коэффициентами, имеющий с многочленом одинаковые рациональные корни, так как Для отыскания рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами существует простой способ, вытекающий из следующей теоремы:

Теорема 1. Если рациональное число где , является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то р является делителем свободного члена многочлена , а q – делителем старшего коэффициента многочлена .

Доказательство: Пусть , где , , .

Так как — корень , то .

Умножим обе части равенства на , получим

. Перепишем это равенство в виде:

Аналогично, переписав равенство в виде:

▲.

Доказанная теорема дает способ отыскания всех рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами. Этот способ заключается в следующем:

1) находим все целые делители свободного члена многочлена : ;

2) находим все целые делители старшего коэффициента многочлена : ;

3) составляем все возможные дроби , , .

4) Не обязательно все получившиеся числа будут корнями многочлена , но все рациональные корни будут находиться среди этих чисел. Поэтому, вычисляя для всех