Учебные материалы по математике | Отыскание целых и рациональных корней многочлена | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Отыскание целых и рациональных корней многочлена


Следствие: В кольце неприводимы только многочлены первой степени и многочлены второй степени, ассоциированные с многочленами вида , где любые действительные числа и .

Теорема 5. Любой многочлен положительной степени из кольца можно единственным образом представить в виде

, где , . – не имеют действительных корней, то есть .

Следствие 1: Любой многочлен с действительными коэффициентами имеет чётное число мнимых корней.

Следствие 2: Многочлен нечётной степени с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень.

ВОПРОС № 10 Корни многочлена. Отыскание целых и рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами.

Пусть — кольцо многочленов одной переменной х над полем рациональных чисел .

Опр.1. Рациональное число с называется корнем многочлена , если

Легко видеть, что отыскание рациональных корней многочлена сводится к отысканию рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами. Действительно, если , то умножив на общий знаменатель d всех его коэффициентов, мы получим многочлен с целыми коэффициентами, имеющий с многочленом одинаковые рациональные корни, так как Для отыскания рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами существует простой способ, вытекающий из следующей теоремы:

Теорема 1. Если рациональное число где , является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то р является делителем свободного члена многочлена , а q – делителем старшего коэффициента многочлена .

Доказательство: Пусть , где , , .

Так как — корень , то .

Умножим обе части равенства на , получим

. Перепишем это равенство в виде:

Аналогично, переписав равенство в виде:

▲.

Доказанная теорема дает способ отыскания всех рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами. Этот способ заключается в следующем:

1) находим все целые делители свободного члена многочлена : ;

2) находим все целые делители старшего коэффициента многочлена : ;

3) составляем все возможные дроби , , .

4) Не обязательно все получившиеся числа будут корнями многочлена , но все рациональные корни будут находиться среди этих чисел. Поэтому, вычисляя для всех

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод