Решение задач по математике | Ответы по математическому анализу | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Ответы по математическому анализу


Дифференциальные уравнения.

1.  Дифференциальное уравнение: порядок и степень уравнения, общее и частное решения. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения.

ДУ – это уравнения, в которых есть переменные, функции переменных и производные (дифференциалы) от этих функций по этим переменным.

Порядок дифференциального уравнения — это порядок старшей входящей в него производной.

– ДУ порядка n (по максимальному порядку производных)

Степень дифференциального уравнения — это показатель степени, в которую возведена производная наивысшего порядка.

Вот пример уравнения первого порядка второй степени:

y=xy prime + y prime - {y prime}^2

Вот пример уравнения четвертого порядка первой степени:

x^4 y^{IV} + 6x^2y prime prime prime + 5x^2y prime prime -x y prime + y = x^2

Общее решение дифференциального уравнения порядка n

y=(x, C1,C2,C3,…Cn), зависящее от n произвольных постоянных.

Частное решение дифференциального уравнения — это общее решение при заданных значениях постоянных C1,C2,C3,…Cn.

Теорема о существовании и единственности решения:

Пусть f(x, y) и fy(x, y) – непрерывны на открытой области ГÎОxy, тогда:

1)  "(x0, y0)ÎГ $ решение ДУ y’=f(x, y) (y=y(x)) так, что y(x0)=y0

2)  Если y1(x) и y2(x) такое решение ДУ y=g(x, y), так что y1(x0)=y2(x0) хоть в одной точке x0ÎГ,

то y1=y2­ "xÎ Г, где $ y1 и y2

2.  Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными.

Уравнение с разделяющимися переменными

y’=f(x)×h(y) или M(y)×N(y)dx+P(x)×Q(x)dy=0

Решение:перенсти x и y так, что x около dx, y около dy, dx и dy в числителях и разделены знаком «=»

3.  Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

y’=f(x, y), если f(ax, ay)=f(x, y) (однородная функция порядка 0)

взяв a= , получим f(x, y)= f(ax, ay)=f() .

f(x, y) – однородная порядка k, если f(ax, ay)=f(x, y)

M(x, y)dx+N(x, y)dy – однородное, если: M(x, y) и N(x, y) – однородные функции одного порядка!, Mdx=-Ndy , => , => f(ax; ay)= , таким образом однородные ДУ сводятся к виду y’=f.

Решаем заменой: u= ; y=ux; y’=u’x+u

u’x+u=f(u)

u’=

F(u)= ln|x|+lnC

F=lnCx

4.  Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

ДУ первого порядка линейно, если имеет вид: y’+f(x)×y=g(x)

Если g(x)=0 – однородное ЛДУ (ЛОДУ), если g(x)≠0 – неоднородное ЛДУ (ЛНДУ)

ЛОДУ: y’+f(x)×y=0

y’=-y×f(x) — метод разделения переменных

ln|y|=-F(x)+lnC

ln=-F(x)

y=C

ЛНДУ: y’+f(x)×y=g(x)

метод I вариации постоянной

а) решим ЛОДУ, приняв g(x)=0, получаем y=C

б) ищем решение ЛНДУ в виде y=C(x), подставляя y в исходное уравнение

y’=C’(x)+C(x)(-F(x))’= C’(x) — C(x)f(x)

y’+f(x)×y=g(x)

C’(x) — C(x)f(x) + f(x)C(x)=g(x)

C’(x)= g(x)

C’(x)= ; C’(x)= g(x)

C(x)= +C1 , таким образом получим

y=( +C1)×

II Метод Бернулли

y=u(x)×v(x) ; y’=u’v+uv’

u’v+uv’+f(x)uv=g(x)

Выбираем V так, что uv’+f(x)uv= u(v’+f(x)v)=0

тогда u’v=g(x)

v’=-f(x)v

ln|v|=-F(x)+lnC

v=C

Перейдем к u поэтому С можно не писать

u’=g(x)

u’=g(x)

u= + C1

y=u(x)×v(x)

5.  Дифференциальные уравнения Бернулли.

y’+p(x)×y=q(x)yn (n≠0;1)

1)  замена переменной

делим на yn

+p(x)×y1-n=q(x)

z=y1-n

z’=(1-n)y-n ×y’

=; +p(x)×z=q(x)

ЛНДУ по z решаем, варьируя C(x) или через z=u×v

2)  метод Бернулли

y=u×v ; y’=u’v+uv’

u’v+uv’+p(x)uv=q(x)unvn

а)

=

lnv=- P(x); v=

б) =q(x)un v(x)n-1

=

=F(x) + C

6.  Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

M(x, y)dx+N(x, y)dy=0

Ищем ответ в виде U(x, y)=C ; dU(x, y) = 0

dU(x, y)=Ux’dx+Uy’dy=0

Предположим, что Ux’= M(x, y) и Uy’= N(x, y)

Проверка: Uxy”ºUyx” «º» — тождественно равно

Uxy”= (Ux’)’y= M’y

Uyx”=( Uy’)’x=N’x ; таким образом, если предположение M’yº N’x верно, тогда

Отсюда выразим , интегрируя, найдем C(y) и, подставив, получим U(x, y)=C

7.  Приближенные методы решения дифференциальных уравнений первого порядка. Метод Эйлера.

8.  Геометрический смысл дифференциальных уравнений первого порядка. Изоклины, поле направлений.

9.  Дифференциальные уравнения второго порядка. Начальные условия, общие и частные решения, краевые условия.

y”=f(x;y;y’) (1)

Решением ДУ (1) называется всякая функция y=φ(x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Общим решение ДУ (1) называется функция y=φ(x;C1;C2), где C1 и C2 — не зависящие от х постоянные, удовлетворяющим условиям:

1)y=φ(x;C1;C2) является решение ДУ для каждого фиксированного значения C1 и C2 .

2) Каковы бы ни были начальные условия: y|x=x0=y0; y’|x=x0=y0’ (2) , существуют единственные значения постоянных такие, что функция являются решением уравнения (1) и удовлетворяющим начальным условиям (2).

Всякое решение уравнения (1), получающееся из общего решения y=φ(x;C1;C2) при конкретных значения постоянных , называется частным решением.

10. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка: простейшие.

y”=f(x), решаем непосредственным интегрированием

11. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка: (случай, когда отсутствует y).

y”=f(x, y’) — нет y

y’=p(x); y”=p’(x)

p’=f(x, p) – ДУ-1

решаем, находим p(x, C), получим y’=p(x, C) (простейшие)

12. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка: (случай, когда отсутствует x).

Автономные ДУ ( без x)

y”=f(y, y’)

p=y’; p=p(y); таким образом

(разд. переменными)

13. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Вид решения. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений.

y”+a1(х)y’+a2(х)y=0 (1) – ЛОДУ

Теорема .

Если функция y1=y1(x) и y2=y2(x) являются частными решениями уравнения (1), то решением этого уравнения является также

y=C1 y1(x)+C2 y2(x) (2) , где С1 и С2 – произвольные постоянные.

Подставляя функцию (2) и ее производные в левую часть ЛОДУ (1), получим:

(C1 y1+C2 y2)” + a1(х)× (C1 y1+C2 y2)’ + a2(х)× (C1 y1+C2 y2)=C1y1”+ C2y2”+ a1(х)× (C1 y1’+C2 y2’)+

+a2(х)×(C1 y1+C2 y2)= C1(y1”+ a1(х)× y1’+ a2(х)× y1’)+ C2(y2”+ a1(х)× y2’+ a2(х)× y2’)=C1×0+C2×0=0

a1y1+a1y1=0 (3) – функции y1 и y2 линейно независимы на интервале (a; b), где a1,a2ÎR, если a1=a2=0, если хотя бы одно из чисел a1 или a2 отлично от нуля и выполняется равенство (3), то функции y1 и y2 – линейно зависимы и тогда выполняется равенство

— определитель Вронского

Если дифференциальные функции y1(x) и y2(x) линейно зависимы на (a;b), то определитель Вронского на этом интервале тождественно равен нулю.

Пусть a1≠0, тогда y1=

Если дифференциальные функции y1(x) и y2(x) линейно независимы на (a;b), то определитель Вронского на этом интервале нигде не равен нулю.

y”+a1(х)y’+a2(х)y=0 — ЛОДУ

y= a1y1(x) + a2y2(x) – общее решение ЛОДУ (следствие теоремы о существовании единственного решения ДУ)

y1, y2 – фундаментальная система решения (совокупность двух линейно независимых на интервале (a; b) частных решений y1(x) и y2(x) ЛОДУ второго порядка)

14. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Структура общего решения.

y”+a1y’+a2y=0 — ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Характеристическое уравнение

k2+a1k+a2=0

Теорема.

1)  Если kiÎR – простой корень характеристического уравнения, то – частное решение ЛОДУ

2)  Если kiÎR кратный корень характеристического уравнения порядка m (k1=k2…=km), то , y2=x×y1.

3)  Если k1,2=a±ib (комплексные сопряженные корни).

Доказательство (по формуле Эйлера):

15. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Теорема о структуре общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка.

y”+a1(x)y’+a2(x)y=f(x) – ЛНДУ

Теорема о структуре общего решения.

Если есть

Доказательство. Подставим наш y в ЛНДУ и сгруппируем.

16. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка методом вариации постоянных.

y”+a1y’+a2y=f(x) – ЛНДУ с постоянными коэффициентами и произвольной правой частью.

1)  ищем решение ЛОДУ

2)  общее решение ЛНДУ ищем в виде

Подставляя решение в ЛНДУ, получим систему:

Правило Крамера: ; ; где ∆- определитель Вронского.

17. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка методом неопределенных коэффициентов.

y”+a1y’+a2y=f(x)- ЛНДУ с постоянными коэффициентами.

1)  ищем yo; k2+a1k+a2=0; k1,k2= y1,y2; yo=C1y1+C2y2.

2) 

Если f(x) состоит из или из их комбинации (сумма или произведение), то .

Если одно из слагаемых в будет равно yoi, то это слагаемое умножаем на x

Ответ:

18. Механические колебания: свободные колебания, вынужденные колебания, резонанс.

1)  На тело действует только сила упругости

F= — kx – закон Гука

2)  Добавим силу трения

3)  добавим внешнюю силу Fвнешн=Acosγt+Bsinγt (Fтр пренебрегаем)


б) xч= A1cosγt+B1sinγt

если γ=b => резонанс, тогда xч умножаем на t

x=cosbt(C1+A1t)+sinbt(C2+B1t) – наблюдаем линейный рост амплитуды.

19. Системы дифференциальных уравнений. Нормальная форма. Сведение нормальной системы к одному уравнению. Метод подстановки.

Пусть Ф1, Фn – разрешима относительно производных y’1…y’n в системе ДУ I порядка, тогда система примет вид:

Метод подстановки.

Продифференцируем первое уравнение по х.

снова подставим все у из системы: и так n-раз

из n-1 уравнения выражаем y2…yn и подставим в последнее уравнение, т. е. получаем => ЛДУ порядка n относительно у, решаем, находим у1

20. Системы линейных дифференциальных уравнений. Определитель Вронского системы.

21. Решение системы линейных дифференциальных уравнений через собственные векторы и значения матрицы.

Метод Эйлера для СЛДУ-I с постоянными коэффициентами.

Запишем эту систему в матричной форме и она примет вид

Ищем решение в виде:

Подставим в систему и перенесем направо:

В матричной форме получим:

Считаем определитель, решаем уравнение степени n, находим корни l1…ln

1)  все корни различны li≠lj

2)  подставляя l1 в с-му ищем решение , подставляя l2 аналогично ищем и т. д.

3)  и общее решение будет и т. д.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод