Ответы по математическому анализу

Дифференциальные уравнения.

1.  Дифференциальное уравнение: порядок и степень уравнения, общее и частное решения. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения.

ДУ – это уравнения, в которых есть переменные, функции переменных и производные (дифференциалы) от этих функций по этим переменным.

Порядок дифференциального уравнения — это порядок старшей входящей в него производной.

– ДУ порядка n (по максимальному порядку производных)

Степень дифференциального уравнения — это показатель степени, в которую возведена производная наивысшего порядка.

Вот пример уравнения первого порядка второй степени:

Вот пример уравнения четвертого порядка первой степени:

Общее решение дифференциального уравнения порядка n

y=(x, C1,C2,C3,…Cn), зависящее от n произвольных постоянных.

Частное решение дифференциального уравнения — это общее решение при заданных значениях постоянных C1,C2,C3,…Cn.

Теорема о существовании и единственности решения:

Пусть f(x, y) и fy(x, y) – непрерывны на открытой области ГÎОxy, тогда:

1)  "(x0, y0)ÎГ $ решение ДУ y’=f(x, y) (y=y(x)) так, что y(x0)=y0

2)  Если y1(x) и y2(x) такое решение ДУ y=g(x, y), так что y1(x0)=y2(x0) хоть в одной точке x0ÎГ,

то y1=y2­ "xÎ Г, где $ y1 и y2

2.  Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными.

Уравнение с разделяющимися переменными

y’=f(x)×h(y) или M(y)×N(y)dx+P(x)×Q(x)dy=0

Решение:перенсти x и y так, что x около dx, y около dy, dx и dy в числителях и разделены знаком «=»

3.  Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

y’=f(x, y), если f(ax, ay)=f(x, y) (однородная функция порядка 0)

взяв a= , получим f(x, y)= f(ax, ay)=f() .

f(x, y) – однородная порядка k, если f(ax, ay)=f(x, y)

M(x, y)dx+N(x, y)dy – однородное, если: M(x, y) и N(x, y) – однородные функции одного порядка!, Mdx=-Ndy , => , => f(ax; ay)= , таким образом однородные ДУ сводятся к виду y’=f.

Решаем заменой: u= ; y=ux; y’=u’x+u

u’x+u=f(u)

u’=

F(u)= ln|x|+lnC

F=lnCx

4.  Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

ДУ первого порядка линейно, если имеет вид: y’+f(x)×y=g(x)

Если g(x)=0 – однородное ЛДУ (ЛОДУ), если g(x)≠0 – неоднородное ЛДУ (ЛНДУ)

ЛОДУ: y’+f(x)×y=0

y’=-y×f(x) — метод разделения переменных

ln|y|=-F(x)+lnC

ln=-F(x)

y=C

ЛНДУ: y’+f(x)×y=g(x)

метод I вариации постоянной

а) решим ЛОДУ, приняв g(x)=0, получаем y=C

б) ищем решение ЛНДУ в виде y=C(x), подставляя y в исходное уравнение

y’=C’(x)+C(x)(-F(x))’= C’(x) — C(x)f(x)

y’+f(x)×y=g(x)

C’(x) — C(x)f(x) + f(x)C(x)=g(x)

C’(x)= g(x)

C’(x)= ; C’(x)= g(x)

C(x)= +C1 , таким образом получим

y=( +C1)×

II Метод Бернулли

y=u(x)×v(x) ; y’=u’v+uv’

u’v+uv’+f(x)uv=g(x)

Выбираем V так, что uv’+f(x)uv= u(v’+f(x)v)=0

тогда u’v=g(x)

v’=-f(x)v

ln|v|=-F(x)+lnC

v=C

Перейдем к u поэтому С можно не писать

u’=g(x)

u’=g(x)

u= + C1

y=u(x)×v(x)

5.  Дифференциальные уравнения Бернулли.

y’+p(x)×y=q(x)yn (n≠0;1)

1)  замена переменной

делим на yn

+p(x)×y1-n=q(x)

z=y1-n

z’=(1-n)y-n ×y’

=; +p(x)×z=q(x)

ЛНДУ по z решаем, варьируя C(x) или через z=u×v

2)  метод Бернулли

y=u×v ; y’=u’v+uv’

u’v+uv’+p(x)uv=q(x)unvn

а)

=

lnv=- P(x); v=

б) =q(x)un v(x)n-1

=

=F(x) + C

6.  Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

M(x, y)dx+N(x, y)dy=0

Ищем ответ в виде U(x, y)=C ; dU(x, y) = 0

dU(x, y)=Ux’dx+Uy’dy=0

Предположим, что Ux’= M(x, y) и Uy’= N(x, y)

Проверка: Uxy”ºUyx” «º» — тождественно равно

Uxy”= (Ux’)’y= M’y

Uyx”=( Uy’)’x=N’x ; таким образом, если предположение M’yº N’x верно, тогда

Отсюда выразим , интегрируя, найдем C(y) и, подставив, получим U(x, y)=C

7.  Приближенные методы решения дифференциальных уравнений первого порядка. Метод Эйлера.

8.  Геометрический смысл дифференциальных уравнений первого порядка. Изоклины, поле направлений.

9.  Дифференциальные уравнения второго порядка. Начальные условия, общие и частные решения, краевые условия.

y”=f(x;y;y’) (1)

Решением ДУ (1) называется всякая функция y=φ(x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Общим решение ДУ (1) называется функция y=φ(x;C1;C2), где C1 и C2 — не зависящие от х постоянные, удовлетворяющим условиям:

1)y=φ(x;C1;C2) является решение ДУ для каждого фиксированного значения C1 и C2 .

2) Каковы бы ни были начальные условия: y|x=x0=y0; y’|x=x0=y0’ (2) , существуют единственные значения постоянных такие, что функция являются решением уравнения (1) и удовлетворяющим начальным условиям (2).

Всякое решение уравнения (1), получающееся из общего решения y=φ(x;C1;C2) при конкретных значения постоянных , называется частным решением.

10. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка: простейшие.

y”=f(x), решаем непосредственным интегрированием

11. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка: (случай, когда отсутствует y).

y”=f(x, y’) — нет y

y’=p(x); y”=p’(x)

p’=f(x, p) – ДУ-1

решаем, находим p(x, C), получим y’=p(x, C) (простейшие)

12. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка: (случай, когда отсутствует x).

Автономные ДУ ( без x)

y”=f(y, y’)

p=y’; p=p(y); таким образом

(разд. переменными)

13. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Вид решения. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений.

y”+a1(х)y’+a2(х)y=0 (1) – ЛОДУ

Теорема .

Если функция y1=y1(x) и y2=y2(x) являются частными решениями уравнения (1), то решением этого уравнения является также

y=C1 y1(x)+C2 y2(x) (2) , где С1 и С2 – произвольные постоянные.

Подставляя функцию (2) и ее производные в левую часть ЛОДУ (1), получим:

(C1 y1+C2 y2)” + a1(х)× (C1 y1+C2 y2)’ + a2(х)× (C1 y1+C2 y2)=C1y1”+ C2y2”+ a1(х)× (C1 y1’+C2 y2’)+

+a2(х)×(C1 y1+C2 y2)= C1(y1”+ a1(х)× y1’+ a2(х)× y1’)+ C2(y2”+ a1(х)× y2’+ a2(х)× y2’)=C1×0+C2×0=0

a1y1+a1y1=0 (3) – функции y1 и y2 линейно независимы на интервале (a; b), где a1,a2ÎR, если a1=a2=0, если хотя бы одно из чисел a1 или a2 отлично от нуля и выполняется равенство (3), то функции y1 и y2 – линейно зависимы и тогда выполняется равенство

— определитель Вронского

Если дифференциальные функции y1(x) и y2(x) линейно зависимы на (a;b), то определитель Вронского на этом интервале тождественно равен нулю.

Пусть a1≠0, тогда y1=

Если дифференциальные функции y1(x) и y2(x) линейно независимы на (a;b), то определитель Вронского на этом интервале нигде не равен нулю.

y”+a1(х)y’+a2(х)y=0 — ЛОДУ

y= a1y1(x) + a2y2(x) – общее решение ЛОДУ (следствие теоремы о существовании единственного решения ДУ)

y1, y2 – фундаментальная система решения (совокупность двух линейно независимых на интервале (a; b) частных решений y1(x) и y2(x) ЛОДУ второго порядка)

14. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Структура общего решения.

y”+a1y’+a2y=0 — ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Характеристическое уравнение

k2+a1k+a2=0

Теорема.

1)  Если kiÎR – простой корень характеристического уравнения, то – частное решение ЛОДУ

2)  Если kiÎR кратный корень характеристического уравнения порядка m (k1=k2…=km), то , y2=x×y1.

3)  Если k1,2=a±ib (комплексные сопряженные корни).

Доказательство (по формуле Эйлера):

15. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Теорема о структуре общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка.

y”+a1(x)y’+a2(x)y=f(x) – ЛНДУ

Теорема о структуре общего решения.

Если есть

Доказательство. Подставим наш y в ЛНДУ и сгруппируем.

16. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка методом вариации постоянных.

y”+a1y’+a2y=f(x) – ЛНДУ с постоянными коэффициентами и произвольной правой частью.

1)  ищем решение ЛОДУ

2)  общее решение ЛНДУ ищем в виде

Подставляя решение в ЛНДУ, получим систему:

Правило Крамера: ; ; где ∆- определитель Вронского.

17. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка методом неопределенных коэффициентов.

y”+a1y’+a2y=f(x)- ЛНДУ с постоянными коэффициентами.

1)  ищем yo; k2+a1k+a2=0; k1,k2= y1,y2; yo=C1y1+C2y2.

2) 

Если f(x) состоит из или из их комбинации (сумма или произведение), то .

Если одно из слагаемых в будет равно yoi, то это слагаемое умножаем на x

Ответ:

18. Механические колебания: свободные колебания, вынужденные колебания, резонанс.

1)  На тело действует только сила упругости

F= — kx – закон Гука

2)  Добавим силу трения

3)  добавим внешнюю силу Fвнешн=Acosγt+Bsinγt (Fтр пренебрегаем)

б) xч= A1cosγt+B1sinγt

если γ=b => резонанс, тогда xч умножаем на t

x=cosbt(C1+A1t)+sinbt(C2+B1t) – наблюдаем линейный рост амплитуды.

19. Системы дифференциальных уравнений. Нормальная форма. Сведение нормальной системы к одному уравнению. Метод подстановки.

Пусть Ф1, Фn – разрешима относительно производных y’1…y’n в системе ДУ I порядка, тогда система примет вид:

Метод подстановки.

Продифференцируем первое уравнение по х.

снова подставим все у из системы: и так n-раз

из n-1 уравнения выражаем y2…yn и подставим в последнее уравнение, т. е. получаем => ЛДУ порядка n относительно у, решаем, находим у1

20. Системы линейных дифференциальных уравнений. Определитель Вронского системы.

—

21. Решение системы линейных дифференциальных уравнений через собственные векторы и значения матрицы.

Метод Эйлера для СЛДУ-I с постоянными коэффициентами.

Запишем эту систему в матричной форме и она примет вид

Ищем решение в виде:

Подставим в систему и перенесем направо:

В матричной форме получим:

Считаем определитель, решаем уравнение степени n, находим корни l1…ln

1)  все корни различны li≠lj

2)  подставляя l1 в с-му ищем решение , подставляя l2 аналогично ищем и т. д.

3)  и общее решение будет и т. д.