Отношение делимости в кольце полиномов от одной переменной

Замечание: В дальнейшем выражение вида а0х0 будем отождествлять с а0 (на операцию это не повлияет).

Определение: а, в К называются делителями 0, если а0, в0, а*в=0 ( в числовых множествах такого нет).

Свойство: Если в кольце К нет делителя нуля, то deg(f(x))*g(x))=deg f(x)+deg g(x) f(x)=, g(x)= an0, bm0 f(x)*g(x)= dn+m=an*bm.

Свойство: Если К без делителей нуля, то и кольцо K[x] без делителей нуля.

2.  Отношение делимости в кольце полиномов от одной переменной. Свойства.

Пусть везде К – коммутативное кольцо с единицей без делителя нуля.

Определение: f(x), g(x) K[x], g(x)0. Говорят, что f(x) делится на g(x) (кратен g(x)), если .

Свойство: 1. Если f(x)=g(x)*h(x),то 1.

2. f(x)

Доказательство:

3.

(f1(x)u1(x)+f2(x)u2(x))g(x)

4..

Свойство: Если f(x), где с – обратимый элемент кольца К.

Свойство: Обратимые элементы кольца K[x] – это обратимые элементы кольца К, только и только они.

Доказательство:

f(x) – обратимый в K[x]

a0 – обратимый элемент в кольце К.

Необходимость: если — обратимый элемент, т. е.

3.  Деление с остатком в кольце полиномов от одной переменной. Теорема о делении с остатком.

Представление полинома f(x) в виде называется делением с остатком полинома f(x) на g(x), r(x) — остаток, s(x) – неполное частное.

Теорема:

множество обратимых элементов в К.

Свойство: Если К – поле, то любой полином f(x) можно разделить на произвольное ненулевое g(x) (потому что в поле любой ненулевой элемент необратим).

4.  Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное полиномов. Алгоритм Евклида. Линейное выражение НОД. Взаимно простые полиномы и их свойства.

. Полином называется их общим делителем, если .

Определение: НОД полиномов f(x) и g(x) называется такой их общий делитель d(x), который кратен любому другому общему делителю этих полиномов:

1. 

2.  .

Обозначение:

Свойство: Если