Основы теории пределов в области комплексных чисел

Умножение это – растяжение, сжатие, поворот.

При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Умножение на i – это поворот на 90 градусов, в этом смысле i – оператор поворота.

3.  Основы теории пределов в области комплексных чисел.

Теория такая же, как в области действительных чисел, но есть отличия:

На оси к точке можно идти справа, слева и одновременно справа и слева. На плоскости же, появляется окрестность. И, чтобы предел существовал, нужно чтобы по любому направлению получали одно и то же значение.

  II.  Функции комплексной переменной

1.  Определение

W – функция комплексной переменной z (), если каждому значению z соответствует одно или несколько значений W.

. Это обобщение функций 2х переменных

Среди всех ФКП будем рассматривать класс функций, с которыми можно работать, как с функцией одного переменного.

2.  Геометрический смысл функции комплексной переменной.

ФКП – это закон отображения некоторого множества на плоскости z, на множество на плоскости W.

3.  Непрерывность функции комплексной переменной.

Функции непрерывна в точке , если предел .

Теорема: если ФКП непрерывна в замкнутой области (ЗО), то она равномерно непрерывна в ЗО.

ФКП, непрерывная в замкнутой области:

1)  ограниченна в ней, т. е. существует число М такое, что

2)  имеет наибольшее и наименьшее число по модулю

4.  Дифференцирование по комплексному аргументу.

Производной в точке z, называется предел отношения приращения функции к аргументу.

Покажем, что далеко не всякая ФКП обладает производной:

1) 

2)  Следовательно, у производной нет.

5.  Необходимые условия существования производной по комплексной переменной.

Условия Коши-Римана:

Пусть имеет производную в точке .

Отношение имеет производную, независимо от пути интегрирования стремится к 0.

Рассмотрим:

1) 

2) 

Так как функция имеет производную, то оба этих предела равны.

откуда условия КОШИ-РИМАНА (К-Р)

Вывод: Для того, чтобы ФКП имела в данной точке производную по комплексной переменной, необходимо, чтобы и имели бы в данной точке частные производные по x и y и эти производные удовлетворяли бы условию К-Р.

6.  Достаточные условия дифференцируемости по комплексной переменной.

Если в данной точке (x, y) функции и дифференцируемы, т. е. имеют первый дифференциал, как главную часть приращения функции, и если при этом частные производные от U и V от x и y удовлетворяют условию К-Р, то имеет в точке производную по комплексной переменной.

; ; где

После перехода к пределу

В силу условий Коши-Римана запишем четыре вида производной в дифференциальной форме:

7.  Аналитические функции.

ФКП – аналитическая (или моногенная, или регулярная) в данной области, если она имеет производную по комплексной переменной в каждой точке этой области.

Достаточное условие аналитичности:

имеются частные производные от U и V непрерывные и удовлетворяющие условию К-Р.

8.  Связь аналитических функций с гармоническими.

Гармонические функции – это функции, которые удовлетворяют уравнению Лапласа: .

Докажем, что вещественная и мнимая части аналитической функции являются гармоническими функциями.

Возьмем условия К-Р и возьмем от них частные производные:

получим: сложим

Аналогично получим:

Определение: две гармонические функции, первые производные которых связанны условием Коши-Римана называются сопряженными. Вещественная и мнимая часть аналитической функции образуют пару сопряженных функций.

Пример 1: двумерное электростатическое поле ( — электростатический потенциал)