Основные типы задач по линейной алгебре

№

п/п

Тип задачи

1

Выполнить действия над матрицами

2

Найти матрицу обратную данной

3

Решить матричное уравнение

4

Вычислить определитель квадратной матрицы

5

Найти ранг матрицы

6

Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы

7

Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера

8

Исследовать систему линейных уравнений на совместность

9

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса. Найти общее и одно частное решение системы.

10

Решить систему линейных однородных уравнений. Найти фундаментальную систему решений.

11

Составить уравнение прямой на плоскости, если она задана:

а) точкой и направляющим вектором

б) двумя точками

в) точкой и нормальным вектором

г) точкой и угловым коэффициентом

д) длинами отрезков, отсекаемых прямой на осях координат

12

Составить уравнение прямой, проходящей через заданную точку

а) параллельно некоторой прямой

б)перпендикулярно некоторой прямой

в) и образующей при пересечении с заданной прямой угол

13

Найти угол между прямыми на плоскости

14

Найти расстояние от точки до прямой

15

Составить уравнение плоскости, заданной

а) точкой и нормальным вектором

б) двумя направляющими векторами и точкой

в) тремя точками

16

Составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и

а) параллельно данной плоскости

б) перпендикулярно данной плоскости

17

Найти угол между плоскостями

18

Составить уравнение прямой в пространстве,

а) заданной точкой и направляющим вектором

б) заданной двумя точками

в) являющейся линией пересечения двух плоскостей

г) заданной точкой и проходящей параллельно линии пересечения двух плоскостей

19

По заданным элементам линии второго порядка составить ее каноническое уравнение

20

По уравнению линии второго порядка определить вид линии, ее элементы и изобразить линию на плоскости

21

Определить тип поверхности второго порядка

22

Выполнить действия над комплексными числами в алгебраической форме

23

Выполнить действия над комплексными числами в тригонометрической форме

24

Выполнить действия над комплексными числами в показательной форме

25

Выполнить действия над многочленами

26

Найти корни многочлена

27

Найти каноническое разложение многочлена

28

Найти НОД многочлена

29

Выполнить действия над векторами (сложение векторов, умножение вектора на число, скалярное произведение векторов, векторное произведение векторов, смешанное произведение векторов)

30

Найти норму вектора

31

Составить линейную комбинацию векторов

32

Установить линейную зависимость (линейную независимость векторов)

33

Определить, образует ли система векторов базис пространства

34

Найти координаты вектора в «новом» базисе, если известна матрица перехода от «старого» базиса к «новому» и координаты вектора в «старом» базисе

35

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора

36

Найти матрицу линейного оператора

37

Привести к диагональному виду матрицу линейного оператора

38

Найти квадратичную форму, соответствующую матрице

39

Записать квадратичную форму в матричном виде

40

Составить матрицу, соответствующую квадратичной форме

41

Привести квадратичную форму к каноническому виду

42

Исследовать квадратичную форму на знакоопредленность

43

Решить систему линейных неравенств с двумя переменными графически

44

Решить задачу линейного программирования графически

45

Решить задачу линейного программирования симплекс-методом

46

Составить двойственную задачу линейного программирования, решить ее и найти решение исходной задачи.

47

Составить и исследовать математическую модель экономической ситуации, в которой требуется:

— определить суммарный объем продукции нескольких типов, производимой на различных предприятиях;

— сравнить объемы продукции, производимой различными предприятиями, одним предприятием в различные периоды времени;

— определить объемы и стоимость ресурсов различных видов, затраченные на производство продукции за определенный период времени;

— определить затраты предприятия на производство различных видов продукции;

— прогноз выпуска продукции, исходя из запасов сырья;

— найти объем валового выпуска продукции некоторой отрасли многоотраслевого хозяйства;

— найти приращение валового выпуска продукции, обеспечивающее заданное приращение конечной продукции;

— найти приращение конечной продукции, соответствующее при-ращению валового выпуска;

— определить бюджеты стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле;

— составить прогноз изменения цен на продукцию различных отрас-лей, исходя из величин добавленной стоимости;

— найти оптимальный:

а) план производства продукции,

б) рацион питания,

в) план распределения финансовых средств,

г) план перевозки товара.