Основная теорема теории вычетов
2. Основная теорема теории вычетов.
3. Применение теории вычетов к вычислению некоторых типов интегралов.
a)
где число полюсов
b) где — точки в верхней полуплоскости
При условии, что равномерно и
Доказательство: рассмотрим интегрирование по полукольцу в верхней полуплоскости
c)
Где при — точки верхней полуплоскости, при — точки нижней полуплоскости.
4. Лемма Жордана.
Пусть аналитическая в верхней полуплоскости за исключением некоторого числа изолированных особых точек. равномерно по всем направлениям, тогда для выполняется
5. Интегралы от функций, имеющих точки ветвления.
a) где . В таком случае, удобно разрезать плоскость и пройти рядом с разрезом в обоих направлениях. Тогда,
b) Логарифмы
6. Суммирование рядов.
Ряды можно суммировать, считая интегралы, получая их в решениях для этих интегралов.
7. Интегральное представление функций.
Вместо сложной функции можно записать простой интеграл.
Пример: это функция ступеньки или -функция Хевисайта
IX. Асимптотические методы вычисления интегралов
1. Асимптотическое разложение.
— это разложение в асимптотический ряд
Ошибка для любого n при обрыве ряда на члене стремится к 0 быстрее чем , когда
— это не сходящийся ряд
Сходящийся ряд , когда , а — фиксировано.
Асимптотический ряд , когда фиксировано, а .
· Асимптотические ряды можно складывать, умножать, интегрировать, но нельзя дифференцировать (кроме разложения аналитической функции).
· Отличие от степенных рядов состоит в том, что одно и то же асимптотическое разложение может быть для разных функций.
2. Метод Лапласа: оценки, лемма Ватсона.
интеграл Лапласа, где — большой параметр, — имеет действительные значения,
— может иметь комплексные значения
Функция резко растет, если монотонно возрастает так, что максимум при .
Где может быть на границе, либо внутри отрезка интегрирования:
1) , , максимум в некоторой точке
Запишем разложение в точке :
2) , , максимум в краевой точке a.
3) тогда: