Основная теорема теории вычетов

2.  Основная теорема теории вычетов.

3.  Применение теории вычетов к вычислению некоторых типов интегралов.

a) 

где число полюсов

b)  где — точки в верхней полуплоскости

При условии, что равномерно и

Доказательство: рассмотрим интегрирование по полукольцу в верхней полуплоскости

c) 

Где при — точки верхней полуплоскости, при — точки нижней полуплоскости.

4.  Лемма Жордана.

Пусть аналитическая в верхней полуплоскости за исключением некоторого числа изолированных особых точек. равномерно по всем направлениям, тогда для выполняется

5.  Интегралы от функций, имеющих точки ветвления.

a)  где . В таком случае, удобно разрезать плоскость и пройти рядом с разрезом в обоих направлениях. Тогда,

b)  Логарифмы

6.  Суммирование рядов.

Ряды можно суммировать, считая интегралы, получая их в решениях для этих интегралов.

7.  Интегральное представление функций.

Вместо сложной функции можно записать простой интеграл.

Пример: это функция ступеньки или -функция Хевисайта

  IX.  Асимптотические методы вычисления интегралов

1.  Асимптотическое разложение.

— это разложение в асимптотический ряд

Ошибка для любого n при обрыве ряда на члене стремится к 0 быстрее чем , когда

— это не сходящийся ряд

Сходящийся ряд , когда , а — фиксировано.

Асимптотический ряд , когда фиксировано, а .

·  Асимптотические ряды можно складывать, умножать, интегрировать, но нельзя дифференцировать (кроме разложения аналитической функции).

·  Отличие от степенных рядов состоит в том, что одно и то же асимптотическое разложение может быть для разных функций.

2.  Метод Лапласа: оценки, лемма Ватсона.

интеграл Лапласа, где — большой параметр, — имеет действительные значения,

— может иметь комплексные значения

Функция резко растет, если монотонно возрастает так, что максимум при .

Где может быть на границе, либо внутри отрезка интегрирования:

1)  , , максимум в некоторой точке

Запишем разложение в точке :

2)  , , максимум в краевой точке a.

3)  тогда: