Основная теорема о симметрических полиномах

т. е. по показателям можно восстановить показатели исходного члена многочлена , таким образом, различные члены многочлена обладают различными высшими членами.

Рассмотрим теперь все члены многочлена, для каждого из них найдем высший член, и из них выберем наивысший член, который при переходе от
к появляется (с отличным от нуля коэффициентом) только один раз. Отсюда следует, что не все коэффициенты равны нулю, т. е. не является нулем кольца

Другая формулировка: Система элементарных симметрических многочленов , рассматриваемых как элементы кольца многочленов , алгебраически независима над полем .

25. Основная теорема о симметрических полиномах и ее приложение к вычислению выражений от корней многочлена.

Теорема: Если полином симметрический, а – высший член, то не возрастает.

Основная теорема о симметрических полиномах: Любой симметрический полином можно представить в виде полинома от элементарных симметрических полиномов, причем единственным образом. Основная идея: если полином имеет высший член , то мы от него будем отнимать , т. к. этот полинома имеет такой высший член.

Второй способ для однородных полиномов: Будем использовать то, что степень всех одночленов одинакова и переберем все возможные высшие члены, в которых степени не возрастают по свойству.

Т. к. равенство должно выполняться всегда, то подставим какие-нибудь значения в (два набора) и получим систему для нахождения а и в.

26. Дискриминант полиномов.

Среди этих корней тогда и только тогда будут равные, если равно нулю произведение: или, что тоже, если равно нулю произведение

, называемое дискриминантом многочлена f(x).

Предположение: тогда и только тогда, когда уравнение имеет кратные корни (хотя бы один корень кратности k>1).

27. Результант полиномов.

Два многочлена с коэффициентами в поле К. n > 0, m > 0

Определение: Результантом многочленов f и g называется однородный многочлен от их коэффициентов (степени m относительно a0,…, an и степени n относительно b0,…, bm) вида

Свойства:

тогда и только тогда, когда или же имеют общий множитель в степени > 0.

Пусть многочлены f и g полностью расщепляются на линейные множители в K[x]:

Тогда

Имеет место формула .

28. Применение результанта для решения систем алгебраических уравнений.