Учебные материалы по математике | Основная теорема о симметрических полиномах | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Основная теорема о симметрических полиномах


т. е. по показателям можно восстановить показатели исходного члена многочлена , таким образом, различные члены многочлена обладают различными высшими членами.

Рассмотрим теперь все члены многочлена, для каждого из них найдем высший член, и из них выберем наивысший член, который при переходе от
к появляется (с отличным от нуля коэффициентом) только один раз. Отсюда следует, что не все коэффициенты равны нулю, т. е. не является нулем кольца

Другая формулировка: Система элементарных симметрических многочленов , рассматриваемых как элементы кольца многочленов , алгебраически независима над полем .

25. Основная теорема о симметрических полиномах и ее приложение к вычислению выражений от корней многочлена.

Теорема: Если полином симметрический, а – высший член, то не возрастает.

Основная теорема о симметрических полиномах: Любой симметрический полином можно представить в виде полинома от элементарных симметрических полиномов, причем единственным образом. Основная идея: если полином имеет высший член , то мы от него будем отнимать , т. к. этот полинома имеет такой высший член.

Второй способ для однородных полиномов: Будем использовать то, что степень всех одночленов одинакова и переберем все возможные высшие члены, в которых степени не возрастают по свойству.

Степень

Отношение

3 0 0

2 1 0

1 1 1

Т. к. равенство должно выполняться всегда, то подставим какие-нибудь значения в (два набора) и получим систему для нахождения а и в.

x1

x2

x3

f

Подставим значения х в формулы и найдем величины…

1

1

0

1

1

1

26. Дискриминант полиномов.

Среди этих корней тогда и только тогда будут равные, если равно нулю произведение: или, что тоже, если равно нулю произведение

, называемое дискриминантом многочлена f(x).

Предположение: тогда и только тогда, когда уравнение имеет кратные корни (хотя бы один корень кратности k>1).

27. Результант полиномов.

Два многочлена с коэффициентами в поле К. n > 0, m > 0

}Определение: Результантом многочленов f и g называется однородный многочлен от их коэффициентов (степени m относительно a0,…, an и степени n относительно b0,…, bm) вида

n
строк
m
строк
}

Свойства:

тогда и только тогда, когда или же имеют общий множитель в степени > 0.

Пусть многочлены f и g полностью расщепляются на линейные множители в K[x]:

Тогда

Имеет место формула .

28. Применение результанта для решения систем алгебраических уравнений.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод