Учебные материалы по математике | Основная теорема арифметики | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Основная теорема арифметики


Если то всё доказано. Если то по свойству 2, по свойствам взаимно простых чисел ▲.

Замечание: использовано следующее свойство взаимно простых чисел:

Доказательство:

▲.

Следствие: Если произведение нескольких чисел делится на простое число р, то хотя бы один из сомножителей делится на это число р. (доказательство методом математической индукции по числу п сомножителей).

Теорема 1. (ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АРИФМЕТИКИ). Всякое натуральное число, большее 1, может быть представлено в виде произведения простых сомножителей и два таких разложения могут отличаться только порядком следования сомножителей.

Доказательство: 1. Возможность указанного представления. Применим метод математической индукции.

1) Для числа 2 утверждение теоремы тривиально.

2) Допустим, что теорема верна для всех натуральных чисел, меньших п.

3) Докажем теорему для числа п. Если п — простое число, то всё доказано.

Если п — составное число, то Тогда в силу индуктивного предположения допускают разложение на простые множители:

Тогда и возможность разложения числа п доказана.

2. Однозначность разложения. Для доказательства однозначности разложения с точностью до порядка следования сомножителей также применим метод математической индукции.

1) Для числа 2 утверждение справедливо, т. к. 2 – простое число.

2) Допустим, что утверждение верно для всех натуральных чисел, меньших п.

3) Докажем утверждение для числа п. Допустим, что п двумя способами разложено в произведение простых сомножителей: и , где простые числа .

Тогда один из сомножителей произведения делится на .

Тогда Но число Тогда по индуктивному предположению для т утверждение справедливо, т. е. два разложения числа т могут отличаться только порядком следования сомножителей. Следовательно, простые числа только порядком следования. Значит утверждение верно и для числа п.

Итак, по методу математической индукции утверждение верно для любого натурального числа, большего 1. ▲.

Замечание: Среди сомножителей в разложении могут быть равные. Их произведение принято записывать в виде степеней. Пусть различные простые сомножители числа п и число входит в разложение числа п раз , тогда число п можно записать в виде: . Такое разложение называется каноническим разложением числа п.

Пример: Найдем каноническое разложение числа 1176.

Значит

Применения основной теоремы арифметики

Если у нас есть канонические разложения двух натуральных чисел, то мы можем считать, что эти разложения состоят из одинаковых простых сомножителей, добавляя сомножители вида .

Например, Считают, что

Теорема 2. Пусть канонические разложения натуральных чисел п и т. Тогда где

где

Примеры: 1.

2. Пусть . Найдем их канонические разложения:

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод