Ортонормированный базис

И, наконец, строим вектор . Причем

Из построения имеем, что — ортогональная система ненулевых векторов. Тогда по теореме 1 она линейно независима. А любая линейно независимая система, состоящая из п векторов п-мерного пространства, образует его базис. Значит, — ортогональный базис пространства E. ▲.

Ортонормированный базис

Опр.6. Длиной (нормой) вектора а евклидового пространства E называется число, равное арифметическому квадратному корню из скалярного квадрата вектора а.

Обозначается норма вектора а следующим образом: . Итак, .

Опр.7. Вектор а евклидового пространства E называется нормированным, если его норма равна 1.

Опр.8. Базис евклидового пространства E называется ортонормированным, если он ортогонален и все его векторы нормированы.

Теорема 3. В каждом ненулевом конечномерном евклидовом пространстве существуют ортонормированные базисы.

Доказательство: Пусть E — п-мерное евклидово пространство, . По теореме 2 в пространстве E существует ортогональный базис . Тогда — ортонормированный базис.

Действительно, ▲.

Свойство: Если — ортонормированный базис евклидового пространства и , то

ВОПРОС № 7 Простые и составные числа. Основная теорема арифметики о разложении чисел на простые множители и её применения.

Опр.1. Натуральное число р, большее 1, называется простым числом, если р не имеет натуральных делителей, отличных от р и 1.

Опр.2. Натуральное число т, большее 1, называется составным числом, если т имеет натуральные делители, отличные от т и 1.

Таким образом, очевидно, что если т — составное, то , где .

Число 1 не является ни простым, ни составным.

Примеры простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,…

Примеры составных чисел: 4, 6, 8, 9, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, …

Опр.3. Целые числа а и b называются взаимно простыми, если их НОД равен 1.

Свойства простых чисел

1) Всякое натуральное число, большее 1, делится по крайней мере на одно простое число.

Доказательство: Пусть и . Если п — простое, то все доказано, т. к. .

Если п — составное, то п делится на число , меньшее, чем п. Если — простое, то свойство доказано: . Если — составное, то и и т. д.

Процесс выделения делителей оборвется через конечное число шагов, когда мы придем к простому делителю. ▲.

2) Любое целое число или делится на простое число р, или взаимно просто с ним.

Доказательство: Пусть а — целое число; обозначим . Так как — простое, то или а тогда , или а тогда а и р взаимно просты. ▲.

3) Два различных простых числа взаимно просты.

Доказательство: Пусть — простые и Для определенности пусть (докажем это от противного – пусть и т. к. то , ). ▲.

4) Если произведение двух целых чисел делится на простое число, то хотя бы один из сомножителей делится на это простое число.

Доказательство: Пусть р – простое число,