Ортонормированный базис
И, наконец, строим вектор . Причем
Из построения имеем, что — ортогональная система ненулевых векторов. Тогда по теореме 1 она линейно независима. А любая линейно независимая система, состоящая из п векторов п-мерного пространства, образует его базис. Значит,
— ортогональный базис пространства E. ▲.
Ортонормированный базис
Опр.6. Длиной (нормой) вектора а евклидового пространства E называется число, равное арифметическому квадратному корню из скалярного квадрата вектора а.
Обозначается норма вектора а следующим образом: . Итак,
.
Опр.7. Вектор а евклидового пространства E называется нормированным, если его норма равна 1.
Опр.8. Базис евклидового пространства E называется ортонормированным, если он ортогонален и все его векторы нормированы.
Теорема 3. В каждом ненулевом конечномерном евклидовом пространстве существуют ортонормированные базисы.
Доказательство: Пусть E — п-мерное евклидово пространство, . По теореме 2 в пространстве E существует ортогональный базис
. Тогда
— ортонормированный базис.
Действительно, ▲.
Свойство: Если — ортонормированный базис евклидового пространства и
, то
ВОПРОС № 7 Простые и составные числа. Основная теорема арифметики о разложении чисел на простые множители и её применения.
Опр.1. Натуральное число р, большее 1, называется простым числом, если р не имеет натуральных делителей, отличных от р и 1.
Опр.2. Натуральное число т, большее 1, называется составным числом, если т имеет натуральные делители, отличные от т и 1.
Таким образом, очевидно, что если т — составное, то , где
.
Число 1 не является ни простым, ни составным.
Примеры простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,…
Примеры составных чисел: 4, 6, 8, 9, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, …
Опр.3. Целые числа а и b называются взаимно простыми, если их НОД равен 1.
Свойства простых чисел
1) Всякое натуральное число, большее 1, делится по крайней мере на одно простое число.
Доказательство: Пусть и
. Если п — простое, то все доказано, т. к.
.
Если п — составное, то п делится на число , меньшее, чем п. Если
— простое, то свойство доказано:
. Если
— составное, то
и
и т. д.
Процесс выделения делителей оборвется через конечное число шагов, когда мы придем к простому делителю. ▲.
2) Любое целое число или делится на простое число р, или взаимно просто с ним.
Доказательство: Пусть а — целое число; обозначим . Так как
— простое, то или
а тогда
, или
а тогда а и р взаимно просты. ▲.
3) Два различных простых числа взаимно просты.
Доказательство: Пусть
— простые и
Для определенности пусть
(докажем это от противного – пусть
и т. к.
то
, ).
▲.
4) Если произведение двух целых чисел делится на простое число, то хотя бы один из сомножителей делится на это простое число.
Доказательство: Пусть р – простое число,