Ортонормированный базис

Ортонормированный базис.

Опр.5: Длиной(нормой) вектора а евклидового пр-ва Е наз-ся число, равное арифметическому квадратному корню из скалярного квадрата вектора а.

Обозн.: ||a||=

Опр.6: Вектор а евклидова пространства Е наз. нормированным, если ||е||=1(если его норма =1).

Опр.7: базис е1 ,е2 ,…,еn евклидова пр-ва Е наз. ортонормированным, если он ортогональный и каждый его вектор нормирован.

Теорема 3: в каждом ненулевом конечномерном Евклидовом пространстве существует ортонормированные базисы.

Доказательсво: Е – ненулевое n-мерное Евклидово пространство. По теореме 2 существует ортогональный базис а1,а2..аn (1).

Нормируем каждый вектор:

, , … , (2)

Тогда система векторов (2) образует ортонормированный базис Е.

Действительно,

Следствие: Если е1, е2, … , еn ортонормированный базис Е и вектор а = λ1е1+ ..+λnen, b = γ1e1+ ..+ γnen, то (a, b) = λ1γ1+λ2γ2+..+ λnγn.

Вопрос 7. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики о разложении чисел на простые множители и ее применение.

Опр.1: натуральное число p наз. простым, если оно больше 1 и p не имеет натуральных делителей, отличных от 1 и от p.

Опр.2: нат. число n наз. составным, если оно, больше 1 и имеет натуральные делители отличные от n и1.

Число 1 не является ни простым не составным.

Опр.3: Целые числа а и b называются взаимно-простыми, если их НОД=1.

Отметим, что если n – составное, то n1, q: n =n1q, где

1<n 1<n, 1<q < n

Свойства простых чисел:

1. Если простое число р делится на некоторое натуральное число n≠ 1, то р=n (следует из определения).

2. всякое натуральное число >1 делится, по крайней мере, на одно простое число.

Док-во: для натур. числа а=2 утверждение справедливо, т. к. 2 делится на простое число 2. Допустим, что утверждение справедливо для всех натур. чисел >1, но меньших числа а. Докажем справедливость утверждения для числа а.

Пусть a и a>1.

Если а — простое, то аа и все доказано,

Если а – составное, то а имеет натур. делитель а1≠1 и а1≠а, а а1, 1<а1<a, если а1- простое то все доказано.

Если а1- составное, а1 имеет нат. делитель а2 : а1 а2 , а2 ≠1 , а2 ≠а1 ,а 2<а1 . Если а2- простое, тогда а а1, а1а2=>a a2 и все доказано.

Процесс выделения делителей числа а оборвется через некоторое число шагов и мы получим на каком-то шаге простой делитель числа а. Ч. т.д.

3. Если р – простое число, то n: либо np, либо n и p – взаимно просты (n, p)=1. Это очевидно из опр-я простых чисел.

4. Два различных простых числа взаимно просты.

Пусть p 1, p2- простые числа и p1 ≠p2

Пусть p 1 <p2 =>(по свойств. делимости)=>p1 не делится на p2= >(по св-ву 3) = >(p1 , p2)=1

5. Если произведение двух или нескольких натуральных чисел делится на некоторое простое число р, то хотя бы один из сомножителей делится на простое число.

Докажем утверждение для двух сомножителей.

Пусть a, b и abp, где p простое число.

Если ap, то все доказано

Пусть теперь a не делится на p, тогда (a; p)=1 =>(по св. вз. простых чисел) => bp

Основная теорема арифметики:

Всякое нат. число n >1 либо просто, либо может быть представлено, и при этом единств. образом, в виде произведения простых сомножителей и два таких разложения могут отличаться только порядком следования сомножителей.

Доказательство.

1. Возможность разложения n на множители (ММИ)

1)Для n=2 , теорема верна, т. к.2-простое число.

2)Допустим, что теорема верна для всех натур. Чисел, больших 1, но меньших n.

3)Докажем для числа n,

Если n-простое, то все доказано. Если n- составное, то n1, n2, n=n1 n2 , где 1<n1 <n, 1<n2 <n, т. к. n1 <n, n2 <n, тогда по индуктивному предположению n1 и n2 допускают разложение на простые множители. Пусть n1 =p1 p2 …pk, pi-простое число (i=1….k) , n2=q1 q2… qs, qj –простое число (j=1…s) . тогда n=p1… pk q1 …qs-разложение числа n на простые множители.

2.Док-во однозначности разложения с точностью до порядка следования сомножителей (ММИ)

1) для n=2 единственность очевидна, т. к. 2 — простое число.

2) допустим, что единственность разложения имеет место для всех чисел, больших 1, но < n.

3) докажем для числа n. Если n – простое, то единственность очевидна. Пусть n – составное, тогда число n может быть разложено двумя способами в виде произведения простых чисел:. n=p1 p2… pk, pi –простое число (i=1…k)=> n=q1 q2 …qm, qj –простое число (j=1…m)|=►p1 p2… pk =q1 q2 …qm (*) =>q1 q2…qmр1 , p1-простое число =>( по след. св-ва 4)хотя бы один из сомнож. на p1.