Ортогональные преобразования

Þ l= действительное число

Допустим, x^Ax — комплексное число, тогда

Транспонирование его не изменит

Комплексное число=своему сопряжённому Þ это действительное число

l= =действительное число

Теорема 20

Ранее была доказана теорема о том, что для любого линейного оператора собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям линейно независимы. Для самосопряжённых операторов утверждение более сильное — они не только линейно независимы, но и ортогональны.

Доказательство:

Пусть x1 и x2 — два собственных вектора самосопряжённого оператора A, отвечающие l1 и l2 (l1¹l2). Тогда

Ax1=l1x1 Ax2=l2x2 Þ (Ax1, x2)=( l1x1, x2)= l1(x1, x2)

(x1, Ax2)=(x1, lx2)= l2(x1, x2)

A – самосопряжённый Þ (Ax1, x2)=(x1, Ax2) Þ l1(x1, x2)=l2(x1, x2) Þ (l1-l2)(x1, x2)=0 Þ (x1, x2)=0, то есть x1^x2

Теорема 21

Без доказательства.

Особо надо отметить, что если среди корней характеристического многочлена существуют корни кратности больше 1, то всё равно этот самосопряжённый оператор имеет собственный базис.

Следствие.

Любая симметрическая матрица M порядка n подобна некоторой диагональной, то есть $ такая невырожденная матрица P порядка n , что

P-1MP=diag(l1,…, ln)

Последовательность l1,…, ln — это перечень всех корней характеристического уравнения матрицы M с учётом их кратностей.

Ортогональные преобразования.

Из определения следует, что ортогональное преобразование сохраняет норму вектора и угол между двумя векторами.

cos(Ax, Ay)===cos(x, y)

Следствие:

Если (е1,…, еn) – ортонормированный базис, то (Ae1,…,Aen) – тоже ортонормированный базис при A – ортогональном преобразовании.

Теорема 22

Доказательство:

Сначала докажем тождество

==

==2=2(x, y)

Из него получим

2(Ax, Ay)= =

==2(x, y)

То есть A – ортогональный.

Следствие:

При A — ортогональном преобразовании, если (e1,…, en) – ортонормированный базис, то (Ae1,…, Aen) – тоже ортонормированный базис.

Чтобы найти ортогональное преобразование, приводящее симметрическую матрицу к диагональному виду, надо:

1)  найти собственные значения симметрической матрицы,

2)  для " li линейно независимые собственные векторы (их должно быть столько какова кратность li),

3)  для " li процессом ортогонализации Грама-Шмидта найти ортонормированный базис и объединить все такие базисы в единую систему,

4)  выписать матрицу ортогонального преобразования, столбцами которой являются координаты полученных базисных векторов.

Квадратичные формы.

Для n=2 f(x1,x2)=a11x12+a12x1x2+a22x22

Каждой квадратичной форме можно взаимно однозначно поставить в соответствие симметрическую матрицу – матрицу квадратичной формы.

Для n=2

Квадратичную форму можно рассматривать как скалярную функцию векторного аргумента.

В матричном виде квадратичная форма записывается так

f=xTAx

Пример:

f(x1,x2,x3)=x12+6x1x2+2×22

A= rangA=2<3Þ квадратичная форма вырождена.

f=

Преобразование квадратичных форм.

Пусть дана квадратичная форма f=xbTAbxb в базисе b. Найдём её представление в другом базисе e. Пусть матрица перехода от b к e есть U. Тогда xb=Uxe

f=xbTAbxb=(Uxe)TAb(Uxe)=xeTUTAbUxe=xeTAexe

Каноническая квадратичная форма имеет матрицу диагонального вида.

Метод собственных значений.

Так как любая квадратичная форма f(x1, x2, …, xn) имеет симметрическую матрицу, то её можно привести к диагональному виду ортогональным преобразованием координат. Для этого нужно найти собственные значения l1, l2, …, ln и собственные векторы симметрической матрицы квадратичной формы, определить ортонормированный базис. В этом базисе квадратичная форма будет канонической с коэффициентами равными собственным значениям fk=l1y12+l2y22+…+lnyn2

Метод Лагранжа.

Замену переменных при переходе к каноническому виду можно осуществлять путём последовательного выделения квадратов,

a1x12+2a12x1x2 =a1(x12+2(a12/a1)x1x2+(a12/a1)2x22)-(a122/a1)x22=

=a1(x1’)2-(a122/a1)x22,

где x1’=x1+(a12/a1)x2

Если в какой-то момент нет ни одного квадрата переменной, то выбираем любое слагаемое квадратичной формы, например 2a12x1x2, и делаем замену