Учебные материалы по математике | Определитель линейного оператора

Теорема 9

Если A – линейный оператор, и y=Ax , тогда столбец координат вектора y равен произведению матрицы A на столбец координат x.

Доказатальство:

Выберем произвольный вектор x x=x1b1+x2b2+…+xnbn ,

его образ y = Ax = A(x1b1+x2b2+…+xnbn) = x1Ab1+…+xnAbn

Ab1 — это 1-ый столбец матрицы A;

Ab1 — 2-ой столбец и т. д.

Столбец координат вектора Ax в базисе b имеет вид

Матрица оператора полностью его определяет. В то же время, какую бы мы ни взяли матрицу n´n, она будет матрицей некоторого линейного оператора в заданном базисе n-мерного линейного пространства.

Теорема 10

Матрицы Ab и Ae линейного оператора A: L®L, записанные в базисах b и e, связаны между собой соотношением

Ae=U-1AbU, где U – матрица перехода от базиса b к базису e.

Доказательство:

Пусть y=Ax. обозначим координаты векторов x и y в базисе b через xb и yb. Действие линейного оператора A в матричной форме имеет вид yb=Abxb,

xb=Uxe, yb=Uye,

ye=U-1yb=U-1(Abxb)=U-1(AbUxe)=(U-1AbU)xe

Запись ye=(U-1AbU)xe называется матричной формой записи действия линейного оператора A в базисе е Þ Ae= U-1AbU.

Это можно записывать диаграммой

xe ® ye

U ¯ U-1

xb ® yb

Определителем линейного оператора называется определитель его матрицы.

Теорема 11

Определитель линейного оператора не зависит от выбора базиса.

Доказательство:

Ae=U-1AbUÞ det Ae=det (U—1AbU)=det U-1 det Ab detU=

(det U-1 det U) det Ab=det Ae

Сумма диагональных элементов матрицы называется её следом.

След матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса.

Произведением линейных операторов и называется их последовательное выполнение (композиция):

Произведение линейных операторов, очевидно, является линейным оператором.

Теорема 12

Матрицей линейного оператора BA является матрица BA.

(Матрицей произведения линейных операторов является произведение их матриц).

Доказательство:

(BA)x=B(Ax)=B(bAx)=b(B(Ax))=b(BA)x

Сложение двух линейных операторов, действующих в L, и умножение линейного оператора на скаляр определяются по следующим правилам: (A+B)x=Ax+Bx ; (lA)x=l(Ax).

Матрицей произведения линейного оператора на скаляр очевидно является матрица, полученная умножением матрицы исходного оператора на этот скаляр. Матрицей суммы линейных операторов является сумма их матриц.

Поскольку для линейных операторов, действующих в L, определено сложение и умножение на скаляр, то они образуют линейное пространство L (L). Проверьте действие аксиом линейного пространства: ассоциативность и коммутативность сложения, существования нейтрального элемента и существование обратных элементов, закон дистрибутивности.

Собственные значения и

собственные векторы линейного оператора.

Характеристическим многочленом линейного оператора A: L®L называется CA(l)=det(A-lE),

А характеристическим уравнением CA(l)=0

Определение корректно, так как определитель не зависит от выбора базиса

det(A-lE)==

Коэффициенты dk инвариантны относительно выбора базиса, Þ они отражают свойства оператора, а не его матрицы.

Некоторые наиболее легко выражаемые коэффициенты:

d0=det A, dn=1, dn-1=trA

Ненулевой вектор x в линейном пространстве L называется собственным вектором линейного оператора A: L®L, если для некоторого действительного числа l выполняется соотношение Ax=lx. При этом число l называется собственным значением линейного оператора A.

Множество всех собственных значений называется спектром оператора.

Теорема 12

Если x – собственный вектор оператора A, то ax – тоже его собственный вектор.

Доказательство:

Ax=lx Þ A(ax )= aAx=alx=lax

Теорема 13

l – собственное значение линейного оператора Û оно является корнем его характеристического многочлена.

Доказательство:

Пусть l – собственное значение линейного оператора A:L®L Û $x¹0, для которого Ax=lx. Используя тождественный оператор I (Ix=x), получим, Ax= lIx Û (A-lI)x=0

В некотором произвольном, но фиксированном базисе запишем матрицы A и E (соответствующие операторам A и I)

Û (A-lE)x=0, Это матричная запись однородной СЛАУ, которая имеет ненулевое решение – столбец координат собственного вектора x Û матрица A-lE имеет нулевой определитель det(A-lE)=0 Û l – корень характеристического многочлена.

Кратность собственного значения есть кратность соответствующего корня характеристического многочлена.

Заметим, что множество всех собственных векторов не является линейным пространством, так как по определению среди них нет нулевого, но если его добавить, то получится подпространство. Его называют собственным подпространством линейного оператора.

Вычисление собственных значений и собственных векторов.

1) Выбрать базис и построить матрицу оператора A.

2) Составить характеристическое уравнение и найти все его действительные корни, то есть собственные значения оператора A.

3) Для каждого собственного значения lk найти фундаментальную систему решений СЛАУ det(A-lkE)=0. Векторы фундаментальной системы и есть собственные векторы соответствующего lk.

Лекция 15

Теорема 14. О линейной независимости собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям.

Система собственных векторов e1, e2,…, ek, соответствующих собственным значениям l1, l2,…, lk (попарно различным), является линейно независимой.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.