Определенный интеграл

Вторая подстановка Эйлера применима к интегралам второго типа, т. е. когда квадратный трехчлен имеет действительные корни и приводит к формуле:

Пример 24.

.

В общем случае, интегрирование выражений вида проводится по методу рационализации подынтегральной функции с помощью подстановок Эйлера.

_____________________________

*Формула 11 таблицы интегралов.

Определенный интеграл

Пусть функция определена и ограничена на отрезке [a, b] и — произвольное разбиение этого отрезка на n элементарных промежутков. Предположим, что на каждом отрезке выбрана точка . Тогда сумма называется интегральной суммой функции на отрезке [a, b], а её предел при , если он существует и конечен, называется определенным интегралом от функции в пределах от a до b и обозначается так:

Определенный интеграл не должен зависеть от разбиений и выбора точек .

Если определенный интеграл существует, то функция называется интегрируемой на отрезке [a; b].

Если функция непрерывна на отрезке [a; b], то существует первообразная от этой функции на отрезке [a; b].

Свойства определенного интеграла.

1.  При перестановке пределов изменяется знак интеграла:

2.  Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

3.  Аддитивность. Если отрезок интегрирования разбит на части без общих внутренних точек, то интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по его частям:

4.  Линейность.

т. е. интеграл от (алгебраической) суммы функций равен сумме интегралов от каждого слагаемого, а постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

5.  Монотонность.

Если для любых то

6.  Оценка интеграла.

Если m и M – наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a; b] и

, то

1.  Среднее значение функции:

где

Значение функции в точке c, определяемое из последнего равенства:

называется средним значением функции на отрезке [a; b].

Для вычисления определенного интеграла служит формула Ньютона-Лейбница:

где -какая-нибудь первообразная функции на отрезке [a; b].

При вычислении определенных интегралов используются те же методы и та же таблица основных интегралов, что и при нахождении неопределенных интегралов.

Пусть выполняются следующие условия:

1)  функция непрерывна на отрезке [a; b];

2)  функция непрерывна вместе со своей производной на отрезке [a; b];

3)  ;

4)  функция определена и непрерывна на отрезке , тогда справедлива формула замены переменной (или подстановки)

.

Если функции — дифференцируемые на [a; b], то имеет место следующая формула: которая называется формулой интегрирования по частям.

Основные методы интегрирования для определенного интеграла применяются так же, как и для неопределенного. Следует, однако, учесть следующие особенности:

— при замене переменной необходимо изменить пределы интегрирования (тогда не нужно возвращаться к старой переменной, как в неопределенном интеграле), а после нахождения первообразной воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница.

— при использовании метода интегрирования по частям необходимо ещё воспользоваться формулой Ньютона — Лейбница.

Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла.

1.  Если на отрезке [a; b] функция , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой , снизу осью 0X, справа и слева прямыми и (рисунок 1), вычисляется по формуле:

(4.1)

2. Если на отрезке [a; b], то площадь фигуры (рисунок 2) вычисляется по формуле:

(4.2)

3. Если функция меняет знак на отрезке [a; b], то площадь фигуры (рисунок 3) вычисляется по формуле:

, (4.3)

где интегралы по отрезкам, на которых функция отрицательна, берутся по абсолютной величине.

4. Если на одном и том же отрезке [a; b] заданы две функции: и , причем для любых то площадь фигуры (рисунок 4) вычисляется по формуле:

(4.4)

5. Если фигура ограничена сверху разными линиями, заданными на разных отрезках (рисунок 5), имеющих один общий конец: при и при , то площадь такой фигуры определяется по формуле:

(4.5)

Задание Вычислить площадь фигуры ограниченной графиками функций и

Решение

Изобразим фигуру, площадь которой надо найти, на координатной плоскости. Графиком функции g(x) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем производную функции . Находим координаты вершины параболы С:

Точки пересечения параболы с осями координат:

С осью ох:

;

;

C осью оу: х=0;

Графиком функции является прямая, которую можно построить по двум точкам с координатами

Рисунок 2 к задаче №6

Найдем точки пересечения графиков функций

;

Площадь S фигуры ABC, ограниченной графиками функций, находим по формуле .

Где для всех

Так как при , то

Ответ

6. Объем тела, образованного вращением вокруг оси ox криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой и прямыми (рисунок 6), равен

(4.6)