Учебные материалы по математике | Определение характера точки разрыва графика функции | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Определение характера точки разрыва графика функции


Методические указания и примеры типового расчёта

заданий №24, №25 "Математического тренинга" по теме

« Определение характера точки разрыва графика функции и схематическое построение графика вблизи точки разрыва»

Теория

·  Непрерывность функции в точке и на отрезке.

·  Точки разрыва графика функции и их характер.

·  Свойства непрерывной на отрезке функции.

·  Асимптота графика функции.

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если в этой точке выполнены три условия:

1. Существуют левосторонний и правосторонний пределы функции;

2. Существует сама функция в этой точке;

3. Значение функции в этой точке равно значениям односторонних пределов функции в этой точке: .

Если будет нарушено, хотя бы одно из этих равенств, то функция не будет являться непрерывной, и сама точка х=а, будет называться точкой разрыва.

Определение. Точкой разрыва первого рода называется такая точка , в которой существуют и равны друг другу оба односторонних предела, но не существует сама функция в этой точке, либо она существует, но не равна односторонним пределам

Рис 1. х=а — точка разрыва I рода Рис 2. х=а — точка разрыва I рода

Точки разрыва первого рода ещё называют точками устранимого разрыва, или точками "скачка" (Рис. 1 и Рис.2).

Точка разрыва I рода будет точкой неустранимого разрыва, если оба односторонних предела существуют, но не равны друг другу (Рис. 3).

Рис.3 х=а – точка неустранимого разрыва I рода

Определение. Точкой разрыва II рода называется такая точка х=а, в которой не существует хотя бы один односторонний предел, или не существуют оба односторонние пределы (Рис. 4,5,6).

Рис. 4. х=а – точка разрыва II рода. Рис. 5. х=а – точка разрыва II рода.

Рис. 6. х=а – точка разрыва II рода.

В точке х=а на рис.6 оба односторонние пределы функции не существуют.

Асимптоты графиков функций

Асимптотой графика функции является такая прямая, к которой неограниченно близко приближается график этой функции. Различают асимптоты вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Если функция y = f(x) не существует в точке х = а и ее предел в этой точке не существует, то, говорят, что прямая х = а является вертикальной асимптотой графика этой функции.

Так, в точках х = -1 и х = 1 не существует, не существуют так же пределы ее в этих точках, это означает, что прямые х = -1 и х = 1 являются вертикальными асимптотами графика этой функции.

Аналогичный пример: в точках х = -2 и х = 3 эта функция не существует, не существуют так же пределы ее в этих точках, это означает, что прямые х = -2 и х = 3 являются вертикальными асимптотами графика этой функции.

Если функция существует для достаточно больших x и , то прямую y = c называют горизонтальной асимптотой графика этой функции.

Например:

функция ,

так как, .

На рисунке 7 приведён график функции . Асимптоты совпадают с осями координат.

Рисунок 7. График функции

На рисунке 8 показан график функции , его асимптоты: вертикальная асимптота x = 0 (ось Oy), наклонная асимптота y = x.

На рисунке 9 изображён график функции у= . Асимптотами графика функции являются: горизонтальная – ось ох, вертикальные х = 1 и

х = -1 .

Рис.8. График функции

Рис.9. График функции у =

Задание 1. Найти точки разрыва графика функции и сделать схематический рисунок графика вблизи точки разрыва.

,

Решение:

Рассмотрим точку х=0:

1. Вычислим левосторонний предел в точке:

2. Вычислим правосторонний предел в точке:

3. Вычислим значение функции в этой точке:

Так как предел функции слева равен пределу функции справа и равен самой функции в точке х=0:

то х=0- точка непрерывности функции.

Рассмотрим точку х=-4:

1. Вычислим левосторонний предел в точке:

2. Вычислим правосторонний предел в точке:

3. — не существует. Значит, точка разрыва II рода.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод