Определение характера точки разрыва графика функции

Методические указания и примеры типового расчёта

заданий №24, №25 "Математического тренинга" по теме

« Определение характера точки разрыва графика функции и схематическое построение графика вблизи точки разрыва»

Теория

·  Непрерывность функции в точке и на отрезке.

·  Точки разрыва графика функции и их характер.

·  Свойства непрерывной на отрезке функции.

·  Асимптота графика функции.

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если в этой точке выполнены три условия:

1. Существуют левосторонний и правосторонний пределы функции;

2. Существует сама функция в этой точке;

3. Значение функции в этой точке равно значениям односторонних пределов функции в этой точке: .

Если будет нарушено, хотя бы одно из этих равенств, то функция не будет являться непрерывной, и сама точка х=а, будет называться точкой разрыва.

Определение. Точкой разрыва первого рода называется такая точка , в которой существуют и равны друг другу оба односторонних предела, но не существует сама функция в этой точке, либо она существует, но не равна односторонним пределам

Рис 1. х=а — точка разрыва I рода Рис 2. х=а — точка разрыва I рода

Точки разрыва первого рода ещё называют точками устранимого разрыва, или точками "скачка" (Рис. 1 и Рис.2).

Точка разрыва I рода будет точкой неустранимого разрыва, если оба односторонних предела существуют, но не равны друг другу (Рис. 3).

Рис.3 х=а – точка неустранимого разрыва I рода

Определение. Точкой разрыва II рода называется такая точка х=а, в которой не существует хотя бы один односторонний предел, или не существуют оба односторонние пределы (Рис. 4,5,6).

Рис. 4. х=а – точка разрыва II рода. Рис. 5. х=а – точка разрыва II рода.

Рис. 6. х=а – точка разрыва II рода.

В точке х=а на рис.6 оба односторонние пределы функции не существуют.

Асимптоты графиков функций

Асимптотой графика функции является такая прямая, к которой неограниченно близко приближается график этой функции. Различают асимптоты вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Если функция y = f(x) не существует в точке х = а и ее предел в этой точке не существует, то, говорят, что прямая х = а является вертикальной асимптотой графика этой функции.

Так, в точках х = -1 и х = 1 не существует, не существуют так же пределы ее в этих точках, это означает, что прямые х = -1 и х = 1 являются вертикальными асимптотами графика этой функции.

Аналогичный пример: в точках х = -2 и х = 3 эта функция не существует, не существуют так же пределы ее в этих точках, это означает, что прямые х = -2 и х = 3 являются вертикальными асимптотами графика этой функции.

Если функция существует для достаточно больших x и , то прямую y = c называют горизонтальной асимптотой графика этой функции.

Например:

функция ,

так как, .

На рисунке 7 приведён график функции . Асимптоты совпадают с осями координат.

Рисунок 7. График функции

На рисунке 8 показан график функции , его асимптоты: вертикальная асимптота x = 0 (ось Oy), наклонная асимптота y = x.

На рисунке 9 изображён график функции у= . Асимптотами графика функции являются: горизонтальная – ось ох, вертикальные х = 1 и

х = -1 .

Рис.8. График функции

Рис.9. График функции у =

Задание 1. Найти точки разрыва графика функции и сделать схематический рисунок графика вблизи точки разрыва.

,

Решение:

Рассмотрим точку х=0:

1. Вычислим левосторонний предел в точке:

2. Вычислим правосторонний предел в точке:

3. Вычислим значение функции в этой точке:

Так как предел функции слева равен пределу функции справа и равен самой функции в точке х=0:

то х=0- точка непрерывности функции.

Рассмотрим точку х=-4:

1. Вычислим левосторонний предел в точке:

2. Вычислим правосторонний предел в точке:

3. — не существует. Значит, точка разрыва II рода.