Определение векторного пространства
Опр.2. Пусть е – единица поля Р. Наименьшее натуральное число m такое, что (если оно существует), называется характеристикой поля Р.
Если же любое натуральное кратное единицы е поля Р отлично от нуля, то говорят, что поле Р имеет характеристику нуль.
Очевидно, что характеристика поля , где р — простое число, равна р.
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Характеристикой поля является либо нуль, либо простое число.
Доказательство: Если характеристика поля Р есть нуль, то все доказано.
Пусть она не есть нуль, а натуральное число m и допустим, что m не является простым числом. Число , т. к. в противном случае
, чего в поле нет. Так как m — составное число
такие, что
, причем
и
. Тогда
(т. к. в поле нет делителей нуля), а это означает, что m не является наименьшим натуральным числом с таким свойством, что противоречит тому, что m — характеристика поля P, значит m — простое число. ▲
ВОПРОС № 4 Определение векторного пространства. Свойства. Примеры векторных пространств.
Опр.1. Пусть — аддитивная абелева группа, т. е. на
определена бинарная операция «+» такая, что: 1) «+» — ассоциативна;
2) «+» — коммутативна;
3) ;
4) .
Р — поле. Пусть также определено действие умножения элементов на элементы поля Р, т. е. указан закон, по которому
ставится в соответствие единственный элемент
, который называется произведением λ на а и обозначается
. Тогда
называется векторным пространством над полем Р, если:
1. .
2. .
3. .
4. .
Элементы называются векторами, а элементы поля Р – скалярами.
Замечание: — группа по сложению, нейтральный элемент относительно «+» обозначаем
. Нулевой элемент поля Р обозначаем 0.
Свойства:
Так как — группа относительно «+», то для
выполнены все свойства группы, а именно: 1) нулевой вектор
единственный;
2) Для любого вектора существует единственный противоположный вектор
;
3) Уравнение имеет единственное решение
. Это решение
обозначается
и называется разностью векторов
.
Отметим дальнейшие простейшие свойства векторного пространства:
4) (0 – нулевой элемент поля Р,
— нулевой вектор из
).
Доказательство: . Итак,
5) .
Доказательство: .
6) Если , то
Доказательство: пусть и
, покажем, что тогда
Так как
, то
Теперь имеем, что