Определение векторного пространства

Опр.2. Пусть е – единица поля Р. Наименьшее натуральное число m такое, что (если оно существует), называется характеристикой поля Р.

Если же любое натуральное кратное единицы е поля Р отлично от нуля, то говорят, что поле Р имеет характеристику нуль.

Очевидно, что характеристика поля , где р — простое число, равна р.

Справедлива следующая теорема.

Теорема. Характеристикой поля является либо нуль, либо простое число.

Доказательство: Если характеристика поля Р есть нуль, то все доказано.

Пусть она не есть нуль, а натуральное число m и допустим, что m не является простым числом. Число , т. к. в противном случае , чего в поле нет. Так как m — составное число такие, что , причем и . Тогда (т. к. в поле нет делителей нуля), а это означает, что m не является наименьшим натуральным числом с таким свойством, что противоречит тому, что m — характеристика поля P, значит m — простое число. ▲

ВОПРОС № 4 Определение векторного пространства. Свойства. Примеры векторных пространств.

Опр.1. Пусть — аддитивная абелева группа, т. е. на определена бинарная операция «+» такая, что: 1) «+» — ассоциативна;

2) «+» — коммутативна;

3) ;

4) .

Р — поле. Пусть также определено действие умножения элементов на элементы поля Р, т. е. указан закон, по которому ставится в соответствие единственный элемент , который называется произведением λ на а и обозначается . Тогда называется векторным пространством над полем Р, если:

1. .

2. .

3. .

4. .

Элементы называются векторами, а элементы поля Р – скалярами.

Замечание: — группа по сложению, нейтральный элемент относительно «+» обозначаем . Нулевой элемент поля Р обозначаем 0.

Свойства:

Так как — группа относительно «+», то для выполнены все свойства группы, а именно: 1) нулевой вектор единственный;

2) Для любого вектора существует единственный противоположный вектор ;

3) Уравнение имеет единственное решение . Это решение обозначается и называется разностью векторов .

Отметим дальнейшие простейшие свойства векторного пространства:

4) (0 – нулевой элемент поля Р, — нулевой вектор из ).

Доказательство: . Итак,

5) .

Доказательство: .

6) Если , то

Доказательство: пусть и , покажем, что тогда Так как , то Теперь имеем, что