Определение полиномов и операции с ними

1.  Определение полиномов и операции с ними. Кольцо полиномов. Стандартная запись полиномов.

Определение полиномов: Пусть К – коммутативное кольцо с единицей, х – некоторая группа, не принадлежащая этому кольцу. Выражение вида (формальная запись) а0х0+а1х1+а2х2+…+аnxn, где , называется полиномом (многочленом) от одной переменной (от буквы х) над кольцом К.

– свободный член (слагаемое), где а0 – нулевой коэффициент.

– старший коэффициент, n – степень полинома n=deg f(x)=deg (f(x)). 0x0— считается, что deg 0x0=. Если а0х0,а00, то степень полинома равна нулю. Множество всех полиномов от одной буквы – К[x].

Определение: Два полинома называются равными, если:

1.  m=n (ai=bi)

2.  m>n (ai=bi) , (bi=0)

3.  m>n (ai=bi), (ai=0)

Определение: Пусть , тогда их суммой называется полином .

Свойство: Множество <K[x], +> является коммутативной группой:

1)  б. а.о. задана. f(x), g(x) K[x](f(x)+g(x)) K[x] f(x)+g(x)= ai ,bi K(ai+bi)

2)  операция ассоциативная f(x), g(x), h(x): (f(x)+g(x)+h(x))=((f(x)+g(x))+h(x)) 🙁f(x)+g(x)+h(x))= . ((f(x)+g(x))+h(x))=

3)  (f(x)+0(x)=0(x)+f(x))=f(x) 0(x)=0x0=

4)  f(x)+(-f(x))=(-f(x))+f(x)=0(x);

<K[x],+> — коммутативная? f(x)g(x) f(x)+g(x)=g(x)+f(x)

f(x)+g(x)==g(x)+f(x)

Определение: Пусть , тогда их произведением называется полином , .

d0=a0b0

d1=a0b1+a1b0

d2=a0b2+a2b0+a1b1

………………………

dn+m=anbm

Свойство: Пусть <K[x], *> — полугруппа. Условия:

1.  Б. а.о. f(x), g(x) K[x]f(x)*g(x) K[x] di K.

2.  Ассоциативность.

Свойство: Пусть <K[x], +, *> — коммутативное кольцо с единицей.

1.  <K[x], +>— коммутативная группа

2.  <K[x], *> — полугруппа

3.  Дистрибутивность: f(x)*(g(x)+h(x))=f(x)*g(x)+f(x)*h(x)

(g(x)+h(x))*f(x) =g(x)*f(x) +h(x)*f(x)

Определение: <K[x], +, *> называется кольцом полиномов от одной переменной (буквы) над кольцом К.