Определение кольца. свойства. коммутативные кольца
12. Множество всех четных подстановок п-ной степени также образует группу по умножению. Эта группа конечна и имеет порядок
при
. При
— некоммутативная группа, а группа
коммутативна. Группа
называется знакопеременной группой п-ной степени.
ВОПРОС № 2 Определение кольца. Свойства. Коммутативные кольца. Делители нуля. Примеры колец.
Опр.1. Непустое множество К, в котором определены две бинарные операции – сложение «+» и умножение «×», называется кольцом, если выполняются следующие условия (аксиомы кольца):
1) для всех а и b из К;
2) для всех ;
3) существует элемент такой, что
для любого (элемент 0 – нулевой элемент кольца);
4) для каждого элемента существует элемент такой, что (элемент (— а) при этом называют противоположным для элемента а);
5) для всех ;
6) для всех .
Часто в математике рассматривают кольца, удовлетворяющие дополнительным требованиям.
Опр.2. Кольцо К называется коммутативным, если умножение удовлетворяет условию коммутативности, т. е. для всех .
Опр.3. Если в кольце К имеется такой элемент , что
для всех , то говорят, что К — кольцо с единицей, а элемент
называют единицей кольца.
Аксиомы 1) – 4) показывают, что любое кольцо является абелевой (коммутативной) группой по сложению, которую называют аддитивной группой кольца.
Из свойств групп следует, что во всяком кольце выполняются следующие свойства:
I. В кольце К существует единственный нулевой элемент.
II. Каждый элемент а кольца К имеет единственный противоположный элемент .
III. В кольце имеет место закон сокращения, т. е. , .
IV. .
V. .
VI. Уравнение для любых элементов имеет единственное решение
.
Сумма обозначается
и называется разностью элементов
и а. Таким образом, в кольце появляется еще одна бинарная операция – вычитание, при этом
.
Отметим некоторые свойства разности:
1) . Действительно, .
2) . Действительно, .
3) . Действительно,
.
4) . Действительно,
.
5) . Действительно,
Дальнейшие свойства кольца:
VII.
.
VIII.
Свойства VII и VIII легко доказываются методом математической индукции.
IX. , т. е. дистрибутивные законы выполняются и для разности элементов кольца.
Действительно,
.
X. .
Действительно,
XI. .
Действительно,
Аналогично
(«минус» на «минус» дает «плюс»)
XII. .