Учебные материалы по математике | Определение кольца. свойства. коммутативные кольца | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Определение кольца. свойства. коммутативные кольца


12. Множество всех четных подстановок п-ной степени также образует группу по умножению. Эта группа конечна и имеет порядок при . При — некоммутативная группа, а группа коммутативна. Группа называется знакопеременной группой п-ной степени.

ВОПРОС № 2 Определение кольца. Свойства. Коммутативные кольца. Делители нуля. Примеры колец.

Опр.1. Непустое множество К, в котором определены две бинарные операции – сложение «+» и умножение «×», называется кольцом, если выполняются следующие условия (аксиомы кольца):

1)  для всех а и b из К;

2)  для всех ;

3)  существует элемент такой, что для любого (элемент 0 – нулевой элемент кольца);

4)  для каждого элемента существует элемент такой, что (элемент ( а) при этом называют противоположным для элемента а);

5)  для всех ;

6)  для всех .

Часто в математике рассматривают кольца, удовлетворяющие дополнительным требованиям.

Опр.2. Кольцо К называется коммутативным, если умножение удовлетворяет условию коммутативности, т. е. для всех .

Опр.3. Если в кольце К имеется такой элемент , что для всех , то говорят, что К кольцо с единицей, а элемент называют единицей кольца.

Аксиомы 1) – 4) показывают, что любое кольцо является абелевой (коммутативной) группой по сложению, которую называют аддитивной группой кольца.

Из свойств групп следует, что во всяком кольце выполняются следующие свойства:

  I.  В кольце К существует единственный нулевой элемент.

  II.  Каждый элемент а кольца К имеет единственный противоположный элемент .

III. В кольце имеет место закон сокращения, т. е. , .

IV.  .

  V.  .

  VI.  Уравнение для любых элементов имеет единственное решение .

Сумма обозначается и называется разностью элементов и а. Таким образом, в кольце появляется еще одна бинарная операция – вычитание, при этом .

Отметим некоторые свойства разности:

1)  . Действительно, .

2)  . Действительно, .

3)  . Действительно, .

4)  . Действительно,

.

5)  . Действительно,

Дальнейшие свойства кольца:

VII.

.

VIII. 

Свойства VII и VIII легко доказываются методом математической индукции.

IX.  , т. е. дистрибутивные законы выполняются и для разности элементов кольца.

Действительно,

.

  X.  .

Действительно,

XI.  .

Действительно,

Аналогично

(«минус» на «минус» дает «плюс»)

XII. .

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод