Учебные материалы по математике | Определение кольца. свойства. коммутативные кольца | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online
Главная ● Учебные материалы по математике ● Определение кольца. свойства. коммутативные кольца

Определение кольца. свойства. коммутативные кольца

12. Множество всех четных подстановок п-ной степени также образует группу по умножению. Эта группа конечна и имеет порядок при . При — некоммутативная группа, а группа коммутативна. Группа называется знакопеременной группой п-ной степени.

ВОПРОС № 2 Определение кольца. Свойства. Коммутативные кольца. Делители нуля. Примеры колец.

Опр.1. Непустое множество К, в котором определены две бинарные операции – сложение «+» и умножение «×», называется кольцом, если выполняются следующие условия (аксиомы кольца):

1)  для всех а и b из К;

2)  для всех ;

3)  существует элемент такой, что для любого (элемент 0 – нулевой элемент кольца);

4)  для каждого элемента существует элемент такой, что (элемент (— а) при этом называют противоположным для элемента а);

5)  для всех ;

6)  для всех .

Часто в математике рассматривают кольца, удовлетворяющие дополнительным требованиям.

Опр.2. Кольцо К называется коммутативным, если умножение удовлетворяет условию коммутативности, т. е. для всех .

Опр.3. Если в кольце К имеется такой элемент , что для всех , то говорят, что К — кольцо с единицей, а элемент называют единицей кольца.

Аксиомы 1) – 4) показывают, что любое кольцо является абелевой (коммутативной) группой по сложению, которую называют аддитивной группой кольца.

Из свойств групп следует, что во всяком кольце выполняются следующие свойства:

  I.  В кольце К существует единственный нулевой элемент.

  II.  Каждый элемент а кольца К имеет единственный противоположный элемент .

III. В кольце имеет место закон сокращения, т. е. , .

IV.  .

  V.  .

  VI.  Уравнение для любых элементов имеет единственное решение .

Сумма обозначается и называется разностью элементов и а. Таким образом, в кольце появляется еще одна бинарная операция – вычитание, при этом .

Отметим некоторые свойства разности:

1)  . Действительно, .

2)  . Действительно, .

3)  . Действительно, .

4)  . Действительно,

.

5)  . Действительно,

Дальнейшие свойства кольца:

VII.

.

VIII. 

Свойства VII и VIII легко доказываются методом математической индукции.

IX.  , т. е. дистрибутивные законы выполняются и для разности элементов кольца.

Действительно,

.

  X.  .

Действительно,

XI.  .

Действительно,

Аналогично

(«минус» на «минус» дает «плюс»)

XII. .

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020