Определение и свойство производной полинома

является корнем .

имеет бесконечное множество корней => — 0-ой

Два множества равны ó их соответствующие коэффициенты равны

.

10. Производная полинома. Определение и свойство производной полинома.

Определение: Если . Формальной производной полинома называется полином .

Производная к – порядка называется

Свойства: Если , то

1. 

2. 

3. 

4. 

11. Кратные множители и кратные корни полинома.

Определение: неприводимый над полем F полином. называется к – кратным множителем f(x), если . Однократные множители называются простыми множителями.

Свойство: Если является к – кратным множителем f(x), то он является (к-1) – кратным множителем . В частном случае, если является простым множителем , то .

Свойство: Если , то НОД .

Следствие: Если не имеет к – кратных множителей, то он взаимно простой со своей производной .

Определение: , является к – кратным корнем, если . Однократным корнем называется простой корень. То, что с есть к – кратный корень, эквивалентно тому, что множитель является к – кратным множителем, аналогичный способ выполняется для к – кратного корня.

12. Производная полинома. Формула Тейлора.

Теорема: Многочлен имеет кратный корень тогда и только тогда, когда .

— линейный остаток

Подставим , получим и

Формула Тейлора: Пусть

, h – второе неизвестное.

Лемма 1: Если свободный член многочлена равен нулю:

, т. е. , то для всякого можно подобрать такое , что при всех , для которых , будет .