Определение и свойства интеграла

Если ψ : [a ‘, b ‘]→ [a, b ] — непрерывное и биективное отображение, то функция z(ψ (s)), где s∈ [a ‘, b ‘] также задает путь L. Такая процедура называется заменой параметра. Заметим, что линейное отображение ψ (s)= (b-a )(s-a ‘)/(b ‘-a ‘)+a биективно переводит отрезок [a ‘,b ‘] в отрезок [a, b ]. Можно определить операцию сложения над дугами кривых. Описательно, сумма L1+L2 означает, что сначала проходим путь L1, а потом путь L2.

Для всякой дуги кривой L можно построить дугу L-, проходимую вдоль L от конца до начала. Заметим, что дуги могут складываться и в случае, когда конец первой не совпадает с налом второй. Например, для кольца K: граница , где и суть окружности, проходимые против часовой стрелки. Здесь граница – кусочно-гладкая кривая, состоящая из двух гладких кусков.

Окружность радиуса ρ с центром в точке z0, проходимая один раз против часовой стрелки, задается так: z(t)=z0+ρeit и 0≤ t≤ 2π . Это гладкий непрерывный замкнутый путь. Обозначим его cρ (z0). Путь cρ (z0)+… +cρ (z0) (k раз), т. е. есть k раз проходимая окружность; она задается той же функцией, но t∈ [0, 2πk]. Граница квадрата 0≤ x≤ 1, 0≤ y≤ 1 — сумма отрезков L1+L2+L3+L4, где

L1:z(t)=t; L2:z(t)=1+it; L3:z(t)=1-t+i; L4:z(t)=i(1-t);

и параметр t меняется всюду от 0 до 1. Граница квадрата — замкнутый, непрерывный и кусочно-гладкий, но не гладкий путь.

Граница области всегда проходится так, что область остается слева. Это правило задает ориентацию границы.

Пусть — две непрерывных кривых, носители которых лежат в области Скажем, что эти кривые гомотопны в области если можно подыскать непрерывную функцию , что и тождественно по t.

Далее рассматриваются только области, у которых граница есть кусочно гладкий замкнутый путь, состоящий из конечного числа кусков

Пример области, у которой граница состоит из пяти непрервных кусков

Область D называется связной, если для любых ее точек z1 и z2 найдется непрерывный путь L, целиком лежащий в этой области и соединяющий точки z1 и z2.

Следующие условия на связную область эквивалентны:

а) граница состоит из одной замкнутой кривой;

б) любой непрерывный замкнутый путь, носитель которого лежит в непрерывно деформируем в точку;

в) любые два непрерывных пути с одинаковыми началами и концами, носители которых лежат в непрерывно деформируемым друг в друга

Такие области будем называть односвязными. Область назвем n-связной, если ее граница разбивается в дизъюнктное объединение n непрерывных кусков. Примером связной, но не односвязной области является кольцо.

14.2  Определение и свойства интеграла

Пусть L: z=z(t), a ≤ t≤ b — непрерывная кривая. Рассмотрим разбиение отрезка [a, b ] с отмеченными точками:

Обозначим Δzj=z(tj)-z(tj-1 ). Параметром разбиения назовем неотрицательное действительное число

Предположим, что нам задана функция , определенная на множестве, содержащем носитель кривой L. Составим интегральную сумму:

Интегралом функции f(z) по кривой L называется предел интегральных сумм (1), если параметр разбиения стремится к 0:

Если кривая не является непрерывной, но есть сумма непрерыных кривых , носители которых не пересекаются, то по определению

Теорема. Если – кусочно-гладкая кривая, а кусочно-непрерывная на носителе , то интеграл (2) существует, причем

Доказательство. Обозначим , , (1≤ j≤ n). Тогда

Переходя здесь к пределу , получим, что правая часть (5) имеет предел раный сумме двух криволинейных интегралов. Тогда

Для гладкой кривой формула (6) дает возможность сведения к определенному интегралу по отрезку (см. (4)) □

Сформулируем без доказательства стандартные свойства интеграла.

И1. [линейность] Для любых a, b∈ ℂ и любых функций f(z), g(z), интегрируемых по кривой L, имеет место равенство:

òL(af(z)+bg(z)) dz=a òLf(z)dz+b òL g(z) dz.

И2. [аддитивность] Если функция f(z) интегрируема по сумме кривых L1+L2, то она интегрируема по каждой кривой и

òL_1+L_2 f(z) dz=òL_1 f(z) dz+òL_2 f(z) dz.

И3 [изменение знака] Если функция f(z) интегрируема по кривой L, то она интегрируема по противоположной кривой и

И4. Интеграл по точке равен нулю

14.3  Длина кривой

Длиной непрерывной кривой L: z=z(t), a ≤ t≤ b называется предел интегральных сумм при . В курсе анализа действительной переменной доказывается, что длина кусочно-гладкой кривой существует (т. е. такая кривая спрямляема) и длина выражается следующим интегралом: