Определение двойного интеграла

59. Неод. лин. диф. уравнения вт. порядка с пост. коэффиц. и со спец. правой частью.

Уравнение вида y" + py’ + qy = f(x), где р и q — вещественные числа, f(x) — непрерывная функция, назыв. лин. неоднор. уравнением второго порядка с пост. коэффициентами.

Общ. решение ур. представляет собой сумму частного решения неодн. уравнения и общ. решения соотв. однор. уравнения. . Для нахождения частного решения пользуются методом неопред. коэф-ов, не содержащим процесса интегрирования.

Правая часть f(x) неодн. диф. уравнения часто представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию, или некоторую комбинацию указанных функций. В этом случае решение удобнее искать с помощью метода неопределенных коэффициентов.

60. Опред. дв. интеграла и его свойства.

Дв. интеграл — это обобщение опред. интеграла на двумерный случай. Т. е. для опред. понятия двойного интеграла использ. функция, зависящая уже от двух переем.: f(x, y). Эта функция должна быть определена на некоторой, обладающей конечной площ., области D плоскости X0Y. При этом граница области D должна состоять из конечного числа графиков непрерывных функций.

Свойства: 1 Аддитивность. Если функция f(x, y) интегрируема в области D и если обл. D при помощи кривой Г площ. нуль разбивается на две связные и не имеющие общ. внутр. точек области D1 и D2, то фун. f(x, y) интегрируема в кажд. из обл. D1 и D2

2.  Лин. свойство. Если функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, а α и β — любые вещественные числа, то функция [α · f(x, y) + β · g(x, y)] также интегрируема в области D

3.  Если функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, то и произведение этих функций интегрируемо в D.

4.  Теорема о ср. значении. Если обе функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в обл. D, фун. g(x, y) неотриц. (неположит.) всюду в этой области, M и m — точная верхняя и точная нижняя грани функции f(x, y) в обл D, то найдется число μ, удовлетворяющее неравенству m ≤ μ ≤ M

61. Однор. диф-ные ур. первого порядка.

Однородным диф. уравнением первого порядка, называется уравнение, имеющее вид y’=f(x/y)

Урав. вида y’=f(x, y) наз. однородным относительно переменных x и y, если правая часть (f(x, y))-однородная ф-ция нулевого измерения относительно своих аргуменов.

Дифф. ур-ние в дифф. форме p(x, y)dx+Q(x, y)dy=0 явл. однородным тогда и только тогда, когда ф-ции p(x, y) и Q(x, y) явл. однор. ф-циями одного и того же измерения.

62. Комплексн. числа и операции над ними.

Комплек. числом z называется пара (x, y) действ. чисел x и y. При этом равенство, сумма и произведение упорядоченных пар, а также отождествление некоторых из них с действ. числами опред. след. образом:

1) два комплексных числа z1 = (x1, y1) и z2 = (x2, y2) назыв. равными, есл x1 = x2 и y1 = y2;

2) суммой комплексных чисел z1 и z2 называется компл. число z вида

z = (x1 + x2, y1 + y2);

3) произв. компл чисел z1 и z2 назыв. компл. число z = (x1x2 — y1y2, x1y2 + x2y1);

4)Разностью комп. чисел z1 и z2 называется комплексное число z такое, что z2 + z = z1, откуда находим z = z1 — z2 = (x1 — x2, y1 — y2).