Учебные материалы по математике | Операционное исчисление | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Операционное исчисление


Операционное исчисление

Опр. Функция называется оригиналом, если:

1) определена при , и являются кусочно-непрерывными на любом конечном интервале,

2) при

3).

Утв. Если -многочлен степени n, то .

Док-во:

, по правилу Лопиталя ;.

Опр. называется изображением, соответствующим оригиналу f(t), если F(p) – интеграл Лапласа:

; .

Теорема. Если f(t) оригинал, то — изображение ,

1) сходится в полуплоскости ,

2) является в полуплоскости аналитической функцией от p.

Док-во:

1)

, таким образом F(p) сходится.

2) Аналитичность следует из теоремы, доказанной в предыдущей лекции.

След. Если F(p) – изображение некоторого оригинала, то

Зам. Если , то F(p) сходится равномерно.

Свойства преобразования Лапласа:

1.  Линейность

2.  Однородность.

.

Док-во для 2:

Теорема о дифференцировании оригинала.

Если f(t) – оригинал, -оригинал, F(p)-изображение f(t), ,

то .

Док-во:

.

Следствие. Если -оригиналы, то .

Док-во:

далее по индукции.

Теорема о дифференцировании изображения.

Если , то .

Теорема об интегрировании оригинала.

Если , то .

Док-во:

1) Докажем, что -оригинал.
а) кусочная гладкость – по свойству интеграла.

б) , t>0 –очевидно.

в)

2) .

.

Теорема об интегрировании изображения

Если f(t) – оригинал, – оригинал, то .

Док-во:

.

,

.

Теорема о запаздывание

Если -оригинал, , то .

Док-во:

.

Теорема смещения

Если , то .

Таблица соответствий

1. .

2.

3.

4.

5.

6.

.

7.

.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Опр. Сверткой функций f и g называется

Утв. Если , g(t) – оригиналы, то f*g(t) – оригинал.

Док-во:

Пункты 1) и 2) в определении оригинала очевидно выполнены. Докажем выполнение пункта 3).

,

, где

Теорема о свертках.

Если f(t), g(t) – оригиналы, , , то .

Док-во:

.

Лемма Жордана

Лемма1. Если f(z) – аналитическая в верхней полуплоскости, за исключением, быть может, конечного числа точек, — полуокружность в верхней полуплоскости .

Док-во:

;

.

Лемма2. Если f(z) – аналитическая в левой полуплоскости, , то .

Док-во:

.

Лемма3.

Если f(z) аналитическая, , то.

y

R

x

Док-во:

1)  Докажем, что .

.

2)Если аналогично.

3) по Лемме 2.

4) Из пунктов 1), 2), 3) следует .

Лемма4. Если f(z) аналитическая , ,

то

Докозательство следует из Леммы3.

Теорема об интеграле Фурье.

Если f(t) кусочно непрерывна и кусочно дифференцируема на R, то (сходится абсолютно).

Теорема обращения преобразования Лапласа.

Если f(t) – оригинал, , то .

Док-во:

;

;

;

Теорема разложения. , для выполнены условия леммы Жордана, то .

Док-во:

.

Пример.

;

;

.

Линейные дифференциальные уравнения

Будем рассматривать ДУ вида:

(1)

(2)

(3)

где -многочлен степени меньше, чем кратность корня .

,

-т. к. ,
, т. е. решение ДУ является оригиналом.

Пример.

;

;

.

Пример.

;

;

;

.

Пример.

;

;

;

;

;

Используем теорему разложения:

;

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений:

(5)

Заданы начальные условия:

Всякое решение такой (5) системы ДУ, а именно функции -, будут оригиналами.

(7)

Пример.

; (Решено на занятии)

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод