Операционное исчисление

Операционное исчисление

Опр. Функция называется оригиналом, если:

1) определена при , и являются кусочно-непрерывными на любом конечном интервале,

2) при

3).

Утв. Если -многочлен степени n, то .

Док-во:

, по правилу Лопиталя ;.

Опр. называется изображением, соответствующим оригиналу f(t), если F(p) – интеграл Лапласа:

; .

Теорема. Если f(t) оригинал, то — изображение ,

1) сходится в полуплоскости ,

2) является в полуплоскости аналитической функцией от p.

Док-во:

1)

, таким образом F(p) сходится.

2) Аналитичность следует из теоремы, доказанной в предыдущей лекции.

След. Если F(p) – изображение некоторого оригинала, то

Зам. Если , то F(p) сходится равномерно.

Свойства преобразования Лапласа:

1.  Линейность

2.  Однородность.

.

Док-во для 2:

Теорема о дифференцировании оригинала.

Если f(t) – оригинал, -оригинал, F(p)-изображение f(t), ,

то .

Док-во:

.

Следствие. Если -оригиналы, то .

Док-во:

далее по индукции.

Теорема о дифференцировании изображения.

Если , то .

Теорема об интегрировании оригинала.

Если , то .

Док-во:

1) Докажем, что -оригинал.
а) кусочная гладкость – по свойству интеграла.

б) , t>0 –очевидно.

в)

2) .

.

Теорема об интегрировании изображения

Если f(t) – оригинал, – оригинал, то .

Док-во:

.

,

.

Теорема о запаздывание

Если -оригинал, , то .

Док-во:

.

Теорема смещения

Если , то .

Таблица соответствий

1. .

2.

3.

4.

5.

6.

.

7.

.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Опр. Сверткой функций f и g называется

Утв. Если , g(t) – оригиналы, то f*g(t) – оригинал.

Док-во:

Пункты 1) и 2) в определении оригинала очевидно выполнены. Докажем выполнение пункта 3).

,

, где

Теорема о свертках.

Если f(t), g(t) – оригиналы, , , то .

Док-во:

.

Лемма Жордана

Лемма1. Если f(z) – аналитическая в верхней полуплоскости, за исключением, быть может, конечного числа точек, — полуокружность в верхней полуплоскости .

Док-во:

;

.

Лемма2. Если f(z) – аналитическая в левой полуплоскости, , то .

Док-во:

.

Лемма3.

Если f(z) аналитическая, , то.

y

R

x

Док-во:

1)  Докажем, что .

.

2)Если аналогично.

3) по Лемме 2.

4) Из пунктов 1), 2), 3) следует .

Лемма4. Если f(z) аналитическая , ,

то

Докозательство следует из Леммы3.

Теорема об интеграле Фурье.

Если f(t) кусочно непрерывна и кусочно дифференцируема на R, то (сходится абсолютно).

Теорема обращения преобразования Лапласа.

Если f(t) – оригинал, , то .

Док-во:

;

;

;

Теорема разложения. , для выполнены условия леммы Жордана, то .

Док-во:

.

Пример.

;

;

.

Линейные дифференциальные уравнения

Будем рассматривать ДУ вида:

(1)

(2)

(3)

где -многочлен степени меньше, чем кратность корня .

,

-т. к. ,
, т. е. решение ДУ является оригиналом.

Пример.

;

;

.

Пример.

;

;

;

.

Пример.

;

;

;

;

;

Используем теорему разложения:

;

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений:

(5)

Заданы начальные условия:

Всякое решение такой (5) системы ДУ, а именно функции -, будут оригиналами.

(7)

Пример.

; (Решено на занятии)