Оценка остатка формулы тейлора
, (7.1)
в которой остаточный член
. (7.2)
Функция является непрерывной на Г, поэтому
.
будет интегралом типа Коши, построенным для этой функции, и, следовательно, функция – голоморфна внутри Г. При этом
.
Формулу Тейлора можно записать в виде
. (7.3)
где функция голоморфна в U. При этом
(7.4)
в силу формулы Коши для производных.
Оценка остатка формулы Тейлора. Рассмотрим произвольную голоморфную функцию в области D. Пусть
. Напишем формулу Тейлора для функции в точке
.
.
Оценим функцию –остаток в формуле Тейлора в такой круговой окрестности точки
, которая целиком вписывается в область D.
Пусть — это круг радиуса
с центром в точке
, который вместе со своей границей, окружностью
, лежит в области
.
Наша цель – оценить при
. Для этого мы применим формулу (6.2) из предыдущего параграфа, взяв в качестве контура Г окружность
.
Тогда получим
Обозначим через , тогда мы можем оценить максимум числителя, и получить продолжение предыдущей оценки, учитывая, что
,
= .
Таким образом,
,
Это и есть нужная нам оценка остаточного члена в формуле Тейлора. Принципиально важным является то, что остаточный член довольно быстро стремится к нулю при росте . В самом деле, при
по определению
, и поэтому
. Это значит, что остаточный член по модулю оказывается не превосходит убывающей геометрической прогрессии. То есть при
мы получим
, т. к.
.
Теорема Тейлора для голоморфных функций. Как прежде предположим, что функция – голоморфна в области
. Пусть
, и рассмотрим произвольный открытый круг
с центром в точке
, который целиком вписывается в область
. Обозначим его радиус через
.
Теорема (Тейлора). Для любого из круга
, справедливо равенство
.
Доказательство. Пусть . Рассмотрим замкнутый круг радиуса
с центром в точке
, который с одной стороны содержит точку
внутри, то есть
, а с другой стороны пусть
.
Оценим теперь разность между и суммой
, опираясь на оценку остаточного члена в формуле Тейлора
.