Обзорные лекции по алгебре

СОДЕРЖАНИЕ

ВОПРОС № 1. Определение группы. Свойства. Коммутативные (абелевы) группы. Конечные группы. Примеры групп. 3

ВОПРОС № 2. Определение кольца. Свойства. Коммутативные кольца. Делители нуля. Примеры колец. 9

ВОПРОС № 3. Определение поля. Свойства. Характеристика поля. Примеры полей. 12

ВОПРОС № 4. Определение векторного пространства. Свойства. Примеры векторных пространств. 16

ВОПРОС № 5. Конечномерные векторные пространства. Базис и размерность. Коорди-наты вектора. 20

ВОПРОС № 6. Евклидовы пространства. Ортонормированные базисы. 24

ВОПРОС № 7. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики о разложе — нии чисел на простые множители и её применения. 28

ВОПРОС № 8. Приводимые и неприводимые многочлены. Теорема о разложении многочлена на неприводимые множители над произвольным полем. 32

ВОПРОС № 9. Разложение многочлена на неприводимые множители над полем комплексных и над полем действительных чисел. 36

ВОПРОС № 10. Корни многочлена. Отыскание целых и рациональных корней много — члена с целыми коэффициентами. 39

ВОПРОС № 11. Теорема о делении с остатком для целых чисел и для многочленов. 43

ВОПРОС № 12. Алгоритм Евклида для целых чисел и для многочленов. НОД и НОК. 47

ВОПРОС № 1 Определение группы. Свойства. Коммутативные (абелевы) группы. Конечные группы. Примеры групп.

Дадим определения понятий, на которых основано понятие группы, а именно понятие бинарной операции, нейтрального элемента относительно этой операции и элемента, симметричного данному элементу.

п.1. Бинарная операция.

Опр.1. Пусть А — произвольное непустое множество, — декартов квадрат множества А (т. е. множество всех пар элементов множества А). Бинарной операцией на множестве А называется отображение , которое каждой паре элементов множества А ставит в соответствие единственный элемент , обозначаемый .

Элемент с называют композицией элементов а и b (или результатом операции *, примененной к элементам а и b).

Часто используются аддитивная и мультипликативная форма записи бинарной операции.

При аддитивной форме записи бинарную операцию * называют сложением и обозначают +. При этом вместо пишут и элемент называют суммой элементов а и b.

При мультипликативной форме записи бинарную операцию * называют умножением и обозначают ∙. При этом вместо пишут и элемент называют произведением элементов а и b.

п.2. Виды бинарных операций.

Пусть * — бинарная операция на множестве А.

Опр.2. Операция * называется коммутативной, если .

Опр.3. Операция * называется ассоциативной, если .

Примеры:

1. — множество всех целых чисел. «+», «∙» — сложение и умножение целых чисел — коммутативны и ассоциативны.

2. — множество всех целых чисел. «-» — бинарная операция вычитания на — не коммутативна и не ассоциативна. Действительно, ;

.

3. Пусть М — произвольное множество, а Р(М) — множество всех подмножеств множества М. Пересечение и объединение — это бинарные операции на множестве Р(М). Они коммутативны и ассоциативны.

п. 3. Нейтральные элементы

Опр.4. Пусть * — бинарная операция на множестве А. Элемент называют нейтральным относительно операции *, если .

При аддитивной форме записи бинарной операции нейтральный элемент обозначают символом 0 и называют нулевым элементом (или нулем).

При мультипликативной форме записи нейтральный элемент обозначают символом 1 или е и называют единичным элементом (или единицей).

Примеры:

1. — множество всех целых чисел. «+» — сложение целых чисел. 0 — нейтральный элемент относительно сложения (нуль).

2. — множество всех целых чисел. «∙» — умножение целых чисел. 1 — нейтральный элемент относительно умножения (единица).

3. Р(М), объединение . — нейтральный относительно элемент, т. к.

.

4. Р(М), пересечение . М — нейтральный относительно элемент, т. к.

.

Справедлива следующая теорема

Теорема.1. Пусть * — бинарная операция на множестве А. Если нейтральный относительно операции * элемент существует, то он единственный.

Доказательство: Допустим, что существует два нейтральных элемента — . Тогда по определению нейтрального элемента имеем