Обыкновенные дифференциальные уравнения

Глава 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

При изучении интегрального исчисления функций одной переменной приходилось отыскивать неизвестную функцию по ее производной или дифференциалу. Практически решалось уравнение или (у – неизвестная функция от х, f(x) – заданная функция), которое является простейшим дифференциальным уравнением.

Гораздо чаще приходится иметь дело с уравнениями более сложного вида. В эти уравнения может входить не только у’, независимая переменная х, но и сама неизвестная функция.

Пример:

Заменяя на , эти уравнения можно переписать в дифференциальной форме:

, , .

Мы будем рассматривать такие дифференциальные уравнения, в которых неизвестная функция зависит только от одного аргумента. Такие уравнения называют обыкновенными. Дифференциальные уравнения, в которых неизвестная функция зависит от многих/нескольких аргументов, называют уравнениями в частных производных*). В настоящем курсе будем рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения.

Раздел 8.1. Дифференциальные уравнения первого порядка.

8.1.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Задача 1. Найти кривую, обладающую тем свойством, что отрезок любой ее касательной, заключенной между осями координат, делится пополам в точке касания.

Решение.

Пусть — уравнение искомой кривой, М(х, у) – произвольная точка, лежащая на этой кривой.

Угловой коэффициент касательной в этой точке равен у’ . По условию задачи АМ=МВ, т. е. ОР=РА=х, а, значит, в любой точке М, принадлежащей кривой , следовательно, .

Получилось соотношение, связывающее неизвестную функцию у, независимую переменную х, производную от у по х, т. е. получилось дифференциальное уравнение относительно у. Этому уравнению удовлетворяет функция *), где С – любое число.

Итак, указанным в задаче свойством обладает бесконечное множество/ «семейство» кривых, отличающихся между собой значением постоянной С. Это семейство равносторонних гипербол, асимптотами которых являются оси координат.

Для того, чтобы из этого семейства выделить одну кривую, достаточно задать конкретную точку (х0,у0), через которую будет проходить кривая, и определить соответствующее значение С из .

Задача 2.(радиоактивный распад). Экспериментальным путем установлено, что скорость радиоактивного распада пропорциональна количеству нераспавшегося вещества. Считая, что начальное количество вещества равно М0, найти зависимость между количеством нераспавшегося вещества М и временем t.

Решение.

Скорость радиоактивного распада равна производной от количества вещества М по времени t, т. е. . Но по условию

,

где k – коэффициент пропорциональности. Знак минус берется потому, что с возрастанием t количество вещества М уменьшается. Обращаем внимание на тот факт, что величина М0 не входит в полученное дифференциальное уравнение: она войдет как начальное условие .

Уравнению удовлетворяет функция . Подставляя начальные условия , получается С=М0.

Следовательно, частное решение, удовлетворяющее условиям задачи

.

Постоянную k можно установить экспериментально (такой метод очень часто применяется в подобных случаях), установив количество нераспавшегося вещества в какой-то момент времени.

Задача 3. (охлаждение тела). Согласно закону, установленному Ньютоном, скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурой тела и температурой окружающей среды*). Требуется получить закон (аналитический вид) охлаждения тела.

Решение.

Пусть тело нагрето до температуры Т0. Температуру окружающей среды будем считать постоянной и равной Тс (Тс<Т0).

Найдем зависимость между изменяющейся температурой Т тела и временем t.

Пусть в момент времени t температура тела равна Т. Скорость изменения температуры, т. е. , по закону Ньютона пропорциональна разности Т-Тс. Следовательно,

.

Знак минус выбран потому, что с возрастанием t температура Т тела уменьшается. Коэффициент пропорциональности k зависит как от физических свойств тела, так и от его геометрической формы (понятно, что скорость охлаждения раскатанного листа стали больше, чем стального слитка).

Разделяя переменные, получим

.

Отсюда

,

или, что все равно

.

Подставляя начальное условие , получается С=Т0-Тс.

Тогда закон охлаждения тела имеет вид

.

Коэффициент пропорциональности k должен быть либо задан, либо установлен экспериментальным путем измерения температуры Т в некоторый момент времени t. Заметим, что теоретически температура тела сравняется с температурой окружающей среды лишь при .

8.1.2. Основные понятия. Геометрический смысл.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производную.

Так как производную можно представить в виде отношения дифференциалов, то уравнение может содержать не производную, а дифференциалы неизвестной функции и независимой переменной.

Итак, вид дифференциального уравнения первого порядка

.

В частных случаях в левую часть уравнения могут не входить х, либо у, но всегда входит у’.

Иногда дифференциальное уравнение первого порядка удается записать в виде

.

Дифференциальное уравнение n-го порядка называется соотношение вида .

Например, — обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция, обращающая его в тождество при подстановке в него этой функции и ее производной взамен неизвестной функции и ее производной.

Рассмотренные ранее примеры показывают, что дифференциальное уравнение может иметь бесконечное множество решений, отличающие произвольной постоянной С, придавая которой разные числовые значения, получают разные решения.

Несмотря на то, что рассмотренные примеры носят частный характер, все-таки, не приводя доказательств, сделаем обобщение:

Любое дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, которые определяются формулой, содержащую одну произвольную постоянную. Записывать эту совокупность решений будем в виде

.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется совокупность его решений, определяемая формулой , где С – произвольная постоянная.

Придавая С произвольные числовые значения, можно получать частные решения.*)

Замечание 1.Получить решение в виде , т. е. искомая функция выражается через х и С в явном виде, не всегда возможно. Бывает, что решение получается в виде — неявное выражение у через х и С. В этом случае его – решение — называют общим интегралом.

Замечание 2. Количество постоянных в общем решении дифференциального уравнения зависит от его порядка. Точнее: каков порядок дифференциального уравнения столько постоянных, причем различных, в общем решении этого уравнения.

Замечание 3. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения иногда называют интегрированием дифференциального уравнения.

Выясним геометрический смысл как уравнения , так и его решений: общего и частного.

Итак, пусть дано обыкновенное дифференциальное уравнение . Как известно, — угловой коэффициент касательной к кривой, в нашем случае угловой коэффициент касательной, проведенной к , т. е. решению данного уравнения, в некоторой точке (х, у). Беря конкретные точки будем получать конкретные значения у’. Таким образом, в каждой взятой точке будет указано направление касательной к кривой, являющейся решением данного уравнения. Говорят, уравнение задает поле направлений в некоторой области.

Найти решение этого уравнения — значит найти кривую, касательная к которой в каждой ее точке совпадала бы с направлением поля в этой точке.

Таких кривых будет не одна, а целое семейство (построение можно начинать с любой точки области).

Пример:

Пусть дано уравнение . Найдем значения у’, задавая х, у (х0).

Графически:

Это поле направлений.

Решение же этого уравнения – функция ( убедитесь непосредственно подстановкой) – семейство гипербол. Графически:

Каждая гипербола – частное решение – получается при заданном значении С.

При решении конкретных задач преимущественно интересны частные решения для наперед заданных начальных условиях. Для того, чтобы из общего решения выделить требуемое частное, а не какое-либо, следует задать начальные условия.

Геометрически это означает: из семейства кривых выделить одну кривую, которая проходит через наперед заданную точку.

Аналитически: задают пару соответствующих друг другу значений , подставляя эти значения в общее решение дифференциального уравнения , находят значение С=С0. Кривая — есть частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям .

Отыскание решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего заданным начальным условиям (х0,у0), является одной из важнейших задач теории дифференциальных уравнений. Эта задача называется задачей Коши.

Пример: Пусть нужно решить уравнение , при начальных условиях .

Решение.

Общим его решением является функция — семейство гипербол. Давая значения С, получим какие-либо частные решения: , , , и т. д.

Для решения задачи Коши решаем относительно С уравнение — общее решение — при х=1, у=2: , т. е. С=2. Тогда решением задачи Коши является .

Вопрос о том, в каком случае можно утверждать, что частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, существует, а также, что оно будет единственным, выясняется следующей теоремой.

Теорема Коши (теорема существования и единственности решения). Если функция f(x, y) непрерывна в области, содержащей точку Р0(х0,у0), то существует решение уравнения такое, что у обращается в у0 при х=х0.*)

Если, кроме того, непрерывна также и частная производная , то это решение единственно.

Перейдем теперь к приемам решения отдельных типов дифференциальных уравнений.

8.1.3. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде

,

т. е.правая часть уравнения есть произведение двух функций, одна из которых зависит только от х, другая – только от у.

Такое уравнение можно записать и в виде

,

т. е. переменные разделены в буквальном понимании, т. е. каждая из переменных содержится только в той части уравнения, где находится ее дифференциал.

В обеих частях уравнения стоят дифференциалы некоторых функций. Справа этот дифференциал выражен явно через независимую переменную х, а слева через промежуточную переменную у, которая является функцией х. Именно эта зависимость у от х и является искомой.

Интегрируя это уравнение, получается

,

т. е. связь между у и х, освобожденная от их дифференциалов.

Если заданы начальные условия , то, используя их для определения С, получается частное решение.

Пример: Решить уравнение , при начальных условиях .

Решение.

Уравнение запишем в виде , или, что все равно . Интегрируем обе части , получается , или , что является общим решением. При интегрировании постоянную написали в виде ln|C| исключительно для удобства потенцирования.

Для решения задачи Коши, определяем/вычисляем значение С, используя начальные условия: , следовательно, С=2.

Итак, частное решение уравнения , при начальных условиях есть функция .

Для комфортности ощущений проведите самостоятельно графическое решение и убедитесь в отсутствии противоречий.

8.1.4. Решение однородных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Для решения такого типа уравнений необходимо предварительно вспомнить:

функция f(x, y) называется однородной n-го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого t0, выполняется

.

Пример:

1. есть однородная функция 3-го измерения, т. к. .

2. есть однородная функция 1-го измерения, т. к. .

3. есть однородная функция 0-го измерения, т. к. .

Дифференциальное уравнение называется однородным, если его правая часть f(x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно x и y.

Решение дифференциального уравнения такого типа сводится подстановкой к решению/интегрированию дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

Пример:

Решить уравнение .

Решение.

Функция — функция 0-го измерения (проверьте). Для решения следует воспользоваться подстановкой .

Тогда, , . Производим замену в исходном уравнении:

,

,

или

,

следовательно

.

Разделяя переменные, получается

.

Интегрируя обе части уравнения

, т. е.

.

Отсюда , или .

Помня, что , получается , или , что является общим решением заданного уравнения.

Утерянное при преобразованиях частное решение u=1 ( при делении уравнения на lnu), восстанавливается из общего решения при С=0.

8.1.5. Решение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции у и ее производной у’, т. е. если оно может быть записано в виде .

Если правая часть этого уравнения не равна тождественно нулю, то его еще называют линейным неоднородным уравнением, или линейным уравнением с правой частью.

Функции p(x) и q(x) известные/определенные/заданные функции независимой переменной х.

Если функция q(x)=0, т. е. уравнение принимает вид и называется линейным однородным уравнением, или уравнением без правой части.

Для решения такого типа уравнений существуют разные методы. Один из – метод вариации произвольной постоянной. По этому методу уравнение решается в два этапа.

1 этап. Сначала решается соответствующее линейное уравнение без правой части, т. е. соответствующее однородное: .

Это уравнение с разделяющимися переменными. Действительно:. Тогда, , или , т. е. , что есть общее решение соответствующего однородного для данного уравнения, С — произвольная постоянная.

Утерянное при разделении переменных решение у=0 восстанавливается из общего при С=0.

2 этап. В полученном на 1 этапе общем решение «подбирают»/ «перебирают»/ «варьируют» некую функцию С(х), такую, что если ее поставить вместо постоянной С в общем решении , полученные были бы решением исходного уравнения.

«Перебор» – процесс неконструктивный. А потому действуют вроде как наоборот: требуют, чтобы функция являлась решением данного уравнения (это естественно). Подставляют ее в исходное уравнение и решают его относительно С(х). Полученную функция С(х) и ставят вместо С в , получается решение исходного уравнения.

Итак, считаем С=С(х), подставляем в исходное уравнение:

=q(x).

.

Разделяем переменные С и х:

.

Интегрируя его, получается С(х):

,

а тогда общее решение заданного уравнения:

.

Пример:

Решить уравнение при начальных условиях .

Решение.

Уравнение — обыкновенное дифференциальное линейное относительно у и у’ с правой частью. Тогда

1 этап. Решаем соответствующее однородное уравнение . Оно с разделяющимися переменными: . Его общее решение .

2 этап. Считаем С=С(х) и требуем/хотим, чтобы функция – общее решение (1этап)- была бы решением заданного уравнения , т. е.

.

Решаем полученное уравнение относительно С(х):

,

.

Разделяя переменные и интегрируя уравнение, получается

.

А тогда общее решение уравнения есть

, С – произвольная постоянная.

Решаем задачу Коши. Начальные условия . Следовательно, , откуда С=3. И тогда решением уравнения при начальных условиях есть функция .

Раздел 8.2. Дифференциальные уравнения высших порядков.

8.2.1. Основные понятия.

Ранее говорилось, что дифференциальным уравнением n-го порядка называется соотношение , связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные до n-го порядка включительно.

Пример: , , , , т. п.

Общее решение такого уравнения зависит от n произвольных постоянных (каков порядок уравнения, столько постоянных в общем решении). Для задачи Коши задается также n начальных условий:

, , , … ,

Условия существования и единственности решения задачи Коши определяются по аналогии теоремы Коши для уравнения первого порядка.

По понятным причинам в данном пособии будут рассматриваться только некоторые типы уравнений.

8.2.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения высшего порядка, допускающие понижение порядка.

Уравнение вида , где f(x) – функция, непрерывная на некотором интервале a<x<b оси ОХ, допускают понижение порядка.

Действительно, это уравнение можно записать , или . Интегрируя полученное уравнение, получается .

Рассуждая аналогично, получаем , и т. д.

Пример: Решить уравнение .

Решение.

Уравнение обыкновенное дифференциальное 3-го порядка.

Запишем его в виде , или . Интегрируя, получаем .

Запишем полученное уравнение в виде , или . Интегрируя, получаем .

Запишем полученное уравнение в виде , или . Интегрируя, получаем .

8.2.3. Линейные однородные обыкновенные дифференциальные уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами.

Это один из простейших типов наиболее изученных уравнений. Интегрирование таких уравнений сводится к чисто алгебраическим операциям.*)

Уравнения такого типа имеют вид:

,

где а1, а2, …, аn – действительные/вещественные числа, у – искомая функция, у’, y’’, …, y(n) — производные искомой функции у(х).

Решение такого типа уравнений будем искать в виде **) , где k – некоторое число.

Тогда

, , …, .

Подставляя полученное в уравнение

, получается

Выполнив известные алгебраические преобразования, получается

.

Это уравнение с неизвестной k называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения

.

Таким образом, для того чтобы функция была решением дифференциального уравнения, необходимо и достаточно, чтобы число k было корнем соответствующего характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение

есть алгебраическое уравнение n-ой степени относительно k, следовательно, по основной теоремы алгебры, оно имеет n корней: . Каждому из этих корней соответствует решение дифференциального уравнения.

При изучении вопроса об общем решении следует рассмотреть следующие возможные случаи.

1.Все корни характеристического уравнения действительны и различны.

Общее решение данного уравнения

.

2. Все корни характеристического уравнения действительны, но среди них есть кратные/повторяющиеся.

Пусть k1 – корень характеристического уравнения кратности m1, k2 –кратности m2, …, kn –кратности mn.

Общее решение данного уравнения

+

++ … +

+.

3. Среди корней характеристического уравнения есть комплексные корни*) .

3.1. Среди них нет кратных. Тогда каждой паре комплексно сопряженных (это обязательно случается) корней ставятся в соответствие два решения: .

Общее решение дифференциального уравнения есть линейная комбинация этих решений с произвольными коэффициентами.

3.2. Среди корней есть кратные. Тогда каждой паре m-кратных

комплексно сопряженных корней характеристического уравнения ставится в соответствие 2m решений:

, , … , ,

, , … , .

Общее решение дифференциального уравнения есть линейная комбинация этих решений с произвольными коэффициентами.

Пример: Решить уравнение .

Решение.

Уравнение — линейное (у’’’ , у — в первой степени) однородное (правая часть ноль) обыкновенное ( у(х)) дифференциальное высшего (третьего) порядка (у’’’ ) с постоянными коэффициентами ( 1; -1).

Соответствующее характеристическое уравнение k3-1=0. Его корни .

Тогда, функции есть решения уравнения. Общее решение:

.

Пример: Написать общее решение некоторого линейного однородного дифференциального уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами, если корни его характеристического уравнения:

.

Решение:

.

8.2.4. Линейные неоднородные обыкновенные дифференциальные уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами.

Этот тип уравнения имеет вид:

,

где ai – постоянные действительные коэффициенты, i=0,1,2,…,n, f(x) – правая часть уравнения, непрерывна на некотором интервале (a, b).

Если функция f(x) – правая часть уравнения – имеет специальный*) вид, то решение таких уравнений может быть найдено методом неопределенных коэффициентов.

Общий вид правой части , где и — многочлены m-ой и n-ой степеней соответственно.

Пример:

1.  , это значит , т. к. , то Pn(x) вообще говоря может быть многочленом любой степени, но удобнее считать Pn(x)=0, а значит n=0.

2.  , это значит .

Теорема. Общим решением линейного неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами есть ,

— общее решение соответствующего однородного уравнения (т. е. правая часть f(x)=0 );

— какое-либо частное решение данного уравнения, определяемое видом правой части.

Теорема. Если правая часть уравнения имеет вид , то частное решение имеет вид , где число показывает, сколько раз встречается среди корней соответствующего характеристического уравнения; — многочлены -ой степени с неизвестными коэффициентами, .

Обе теоремы приводятся без доказательства.

Итак, схема решения рассматриваемого типа уравнения:

—  на первом этапе находится общее решение соответствующего однородного уравнения ;

—  на втором: по виду правой части определяется вид , и находятся/вычисляются неизвестные коэффициенты, входящие в ;

—  записывается общее решение .

Заметим, что если по заданию нужно решать еще и задачу Коши (т. е. заданы начальные условия), то, понятно, что сделать это возможно только после нахождения общего решения заданного уравнения.

Пример. Решить уравнение при начальных условиях

Решение.

Это линейное неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение высшего (третьего) порядка с постоянными коэффициентами, а значит его общее решение .

1.

Соответствующее однородное уравнение . Для этого уравнения характеристическое . Его корни действительны, различны. Следовательно, общее решение уравнения есть функция .

2.

Правая часть данного уравнения , значит, ; ; , т. е. m=2, а значит ; один раз встречается среди , а значит .

Тогда вид , где a, b,c – неизвестные коэффициенты, подлежащие определению/вычислению методом неопределенных коэффициентов.

Так как есть решение (хоть и какое-либо частное) заданного уравнения, то при подстановке этой функции в исходное уравнение получается тождество. Значит,

.

После известных операций получается:

.

Тогда, так как многочлены в правой и левой частях равны, то равны и коэффициенты при одинаковых степенях переменной, т. е.

, откуда .

Итак, .

3.Наконец, общее решение данного уравнения

+.

Теперь решаем задачу Коши, т. е. находим частное решение при .

Итак: +, тогда

,

.

Подставляя , получаем систему уравнений:

, отсюда .

Итак, частное решение дифференциального уравнения при начальных условиях :

+.

Практикум по главе 8.

Задача 1. Решить уравнения:

а); б) ; в); г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) ;

к) ; л); м) ;

н) ; о) , если у(1)=-1, у’(1)=1; п); р) ; с) ; т); у) ; ф) ; х) ;

ц) ; ш) ;

щ) ; э) ; ю).

Задача 2.Определить тип уравнения, указать метод решения:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

е) ; ж) ; з) ;

и); к) ;

л) ; м) .

Задача 3.Определить вид для , если

а); б) ; в);

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) ;

к) ; л) ; м) .

*) Это к тому, что необыкновенных дифференцальных уравнений нет. Уравнения в частных производных — не обыкновенные, это так.

*) Методы решения дифференциальных уравнений (некоторых типов) будут рассматриваться позже. Пока, если хотите убедиться в справедливости, подставьте вместо у предложенную функцию и получите тождество.

*) Будем считать пока, что при охлаждении тела температура окружающей среды не меняется (иначе задача становится более сложной).

*) Какие-либо частные решения. Не путать с задачей Коши.

*) Если в точке (х0,у0) условия теоремы нарушены, то такие точки называют особыми. Изучение поведения интегральных кривых в окрестности особой точки составляет важный раздел теории дифференциальных уравнений. Здесь не рассматривается.

*) Здесь не приводится достаточно изящная и не менее достаточно громоздкая теория, которая позволяет такую простоту решения.

**) Почему именно показательная функция, тоже длинный разговор. Уточняйте у преподавателя, если хотите, а пока просто поверьте, что это очень мощная функция, играет большую роль в математике.

*) Придется почитать соответствующий раздел этого пособия: комплексные числа.

*) В действительности этот так называемый специальный вид на самом деле достаточно обширный, если не сказать универсальный.