Общая формула симпсона

Если аналитическое выражение подынтегральной функции f известно, может быть поставлен вопрос об оценке погрешности численного интегрирования.

В этом случае имеется в виду, что

(4)

где Rn(f) — остаточный член квадратурной формулы.

Формулу остаточного члена получим вначале для отрезка [х0; x1]. Имеем

откуда следует, что естественно рассматривать R как функцию шага h: R= R(h).  R(0) = 0. Продифференцируем R(h) по h:

Замечаем, что R'(0) = 0. Далее:

.     (5)

Выведем сейчас R, последовательно интегрируя R"(h) на от­резке [0; h]:

откуда с учетом (5) имеем

  (6)

Применяя к (6) обобщенную теорему о среднем (Если функции f(х) и φ(x) непрерывны и φ(х) не меняет знака на отрезке[а; b], то существует такая точка , что

)

получаем

    (7) 

где и  зависит от h. Далее:

 откуда с учетом (7) и обобщенной теоремы о среднем имеем

(8)

где 

Таким образом, погрешность метода при интегрировании функ­ции fна отрезке [х0, х1]по формуле (7) имеет значение

(9)

Из формулы (9) видно, что при  формула (4) дает значение интеграла с избытком, а при  — с недо­статком.

Для оценки погрешности интегрирования на всем отрезке [а; b] рассуждаем следующим образом. Общая погрешность складывает­ся из суммы погрешностей на каждом частичном отрезке, опре­деляемых по формуле (10): R = R(1) +R(2) + … + R( n). С учетом (9) имеем

где 

Учитывая, что h·n=b-a, получаем следующий окончатель­ный вид формулы для оценки погрешности метода интегрирова­ния по формуле трапеций

           (10)

При n=2 (аппроксимация многочленом Лагранжа 2-ой степени), получаем формулу Симпсона:

, .

Общая формула Симпсона:

,

Рис 3. Графическая интерпретация формулы Симпсона.