Учебные материалы по математике | Общая формула симпсона | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Общая формула симпсона


Если аналитическое выражение подынтегральной функции f известно, может быть поставлен вопрос об оценке погрешности численного интегрирования.

В этом случае имеется в виду, что

(4)

где Rn(f) — остаточный член квадратурной формулы.

Формулу остаточного члена получим вначале для отрезка [х0x1]. Имеем

откуда следует, что естественно рассматривать R как функцию шага h: R= R(h).  R(0) = 0. Продифференцируем R(h) по h:

Замечаем, что R'(0) = 0. Далее:

    (5)

Выведем сейчас R, последовательно интегрируя R"(h) на от­резке [0; h]:

откуда с учетом (5) имеем

  (6)

Применяя к (6) обобщенную теорему о среднем (Если функции f(х) и φ(x) непрерывны и φ(х) не меняет знака на отрезке[а; b]то существует такая точка что

)

получаем

    (7) 

где и  зависит от h. Далее:

 откуда с учетом (7) и обобщенной теоремы о среднем имеем

(8)

где 

Таким образом, погрешность метода при интегрировании функ­ции fна отрезке [х0, х1]по формуле (7) имеет значение

(9)

Из формулы (9) видно, что при  формула (4) дает значение интеграла с избытком, а при  — с недо­статком.

Для оценки погрешности интегрирования на всем отрезке [а; b] рассуждаем следующим образом. Общая погрешность складывает­ся из суммы погрешностей на каждом частичном отрезке, опре­деляемых по формуле (10): R = R(1) +R(2) + … + R( n). С учетом (9) имеем

где 

Учитывая, что h·n=b-a, получаем следующий окончатель­ный вид формулы для оценки погрешности метода интегрирова­ния по формуле трапеций

           (10)

При n=2 (аппроксимация многочленом Лагранжа 2-ой степени), получаем формулу Симпсона:

, .

Общая формула Симпсона:

,

Рис 3. Графическая интерпретация формулы Симпсона.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод