Нули и изолированные особые точки

Контуры Г1 и Г2 можно заменить на общий контур

3) Пусть такое разложение не единственное

все остальные обратятся в 0

Замечание:

·  Коэфф. С нельзя рассматривать как произведение, т. к. функция не аналитична внутри круга

·  Ряд Тейлора представляет собой частный случай ряда Лорана, когда функция аналитична внутри круга

Раз функция аналитическая внутри круга, то можно рассматривать как производные

·  0 < |z-z0| <R,

Границы кольца можно раздвинуть до ближайших особых точек

·  Из доказанной единственности разложения в ряд Лорана следует, что найденные любым способом разложения функции по полож. и отрицат. степеням z – z0 явл. лорановскими разложениями этой функции

45. Нули и изолированные особые точки.

Опр: т. называется нулем R-ого порядка аналитической функции f(z), если ()=()=…==0 , 0.

Вывод: если т. это ноль R-ого порядка, то в разложении в ряд Лорана данной функции в окружности т. z будут присутствовать только элементы правильной части, причем наименьшая степень правильной части будет совпадать с порядком нуля.

,, — аналитическая функция в окрестности т. z .

Классификация изолированных особых точек однозначна характера.

Опр: т. называется изолированной особой точкой функции если с исключенной т. в которой функция аналитическая.

Речь идет об окрестностях, в которых функция однозначна.

Аналитическую функцию мы можем разложить в ряд Лорана. При этом возможны случаи:

1.Ряд Лорана не содержит главной части = , где — устранимая особая точка функции.

2.Ряд Лорана содержит конечное число членов в главной части

=

3. Ряд Лорана содержит бесконечное число членов в главной части,

= ,где — существенно особая точка (СОТ).

Теорема 1: Для того чтобы т. является устранимой особой точкой аналитической необходимо и достаточно, чтобы .

Т2 Для того, чтобы Z0 являлась полюсом аналитической f(z) необходимо и достаточно, чтобы

; ; ;

Т3 Для того, чтобы Z0 являлась полюсом порядка m аналитической f(z) необходимо и достаточно, чтобы f(z) можно было представить в следующем виде: