Нок целых чисел

3) Покажем, что делится на любой общий делитель чисел . Для этого рассмотрим равенства алгоритма, начиная с первого. Пусть — произвольный общий делитель чисел , то есть и , то есть

то есть и т. д. И, наконец, .

Число удовлетворяет всем условиям определения НОД чисел . ▲.

Следующая теорема даёт способ отыскания НОД нескольких целых чисел.

Теорема 4. Если , , …, , то .

НОК целых чисел

Опр.2. Общим кратным целых, отличных от нуля чисел называется целое число с, которое делится на каждое из чисел , то есть .

Опр.3. Целое число т называется наименьшим общим кратным целых, отличных от нуля чисел , если: 1) ;

2) т есть общее кратное чисел ;

3) любое общее кратное чисел делится на число т.

Обозначается НОК чисел так: .

Теорема 5. Если НОК целых чисел существует, то оно единственно.

Теорема 6. НОК целых чисел равно НОК их модулей.

Доказательства теорем 5 и 6 аналогичны доказательствам теорем 1 и 2.

Теорема 6 позволяет рассматривать НОК только натуральных чисел. Следующая теорема даёт способ отыскания НОК двух натуральных чисел:

Теорема 7. .

Доказательство: покажем, что число удовлетворяет всем трём условиям определения НОК целых чисел.

1) Во-первых, , так как .

2) Покажем, что число есть общее кратное чисел .

Обозначим , причем числа взаимно просты, то есть .

Теперь имеем: .

3) Покажем, что любое общее кратное чисел делится на число .

Пусть т – произвольное общее кратное чисел , то есть .

. Но , тогда

. Теперь имеем:

.

Следовательно, . ▲.

Следующая теорема позволяет находить НОК нескольких чисел:

Теорема 8. Если , , , …, , то .