Учебные материалы по математике | Независимость интеграла от вида пути интегрирования | Matematiku5
Вузы по математике Готовые работы по математике Как писать работы по математике Примеры решения задач по математике Решить задачу по математике online

Независимость интеграла от вида пути интегрирования


где направление интегрирования берется против часовой стрелки.

Действительно, для окружности этот интеграл вычислен, так как функция голоморфна при $ z$неравном $ a$, то он будет таким же и для контура $ Gamma$.

Доказанное свойство (5.12), как это видно уже на примере, позволяет сводить задачу вычисления интегралов по замкнутым контурам сложной природы к вычислению интегралов по более простым контурам и является мощным средством для вычисления интегралов.

Сформулируем теперь следствие из теоремы Коши-Гурса для многосвязной области, то есть области с большим количеством "дыр". Пусть $ G$ограниченная область, граница которой состоит из конечного числа кусочно-гладких замкнутых жордановых кривых, и пусть функция $ f(z)$, определенна на замыкании $ overline {G} $, непрерывна в $ overline {G} $и голоморфна в $ G $. Тогда сумма интегралов от этой функции по всем граничным кривым равна нулю, если направление обхода кривых выбрать, например, так, чтобы при обходе область $ G$оставалась слева.

$displaystyle intlimits_{Gamma _0}+intlimits_{Gamma_1}+intlimits_{Gamm...
...
intlimits_{Gamma_0}=intlimits_{-Gamma_1}+intlimits_{-Gamma _2} = 0 .
$

Иными словами интеграл по внешнему контуру $ Gamma _{0}
$равен сумме интегралов по внутренним контурам $ Gamma _{1} $и $ Gamma _{2}$, если во всех случаях берется интеграл по направлению против часовой стрелки и между контурами подинтегральная функция голоморфна. Разумеется аналогичное утверждение справедливо и для большего числа чем два внутренних контуров.

Независимость интеграла от вида пути интегрирования. Пусть функция $ f(z)$голоморфна в односвязной области $ G$. Возьмем две точки $ z_{0} ,z_{1} in G$и соединим их двумя различными кусочно-гладкими простыми кривыми $и $ Gamma_{2} = z_{0} xi z_{1} $. Из этих кривых можно составить замкнутый контур $ z_{0} zeta z_{1} xi
z_{0} $.

По теореме Коши-Гурса

$displaystyle ointlimits_{z_{0} zeta z_{1} xi z_{0} } {fleft( {z} right)dz = 0}
$

разбиваем интеграл в сумму двух

$displaystyle 0 = ointlimits_{z_{0} zeta z_{1} xi z_{0} } {fleft( {z} rig...
...left( {z} right)dz} +
ointlimits_{z_{1} xi z_{0} } {fleft( {z} right)dz}
$

$displaystyle =
intlimits_{Gamma_{1} } {f(z)dz - } intlimits_{Gamma_{2} } {f(z)dz}
$

отсюда

$displaystyle intlimits_{Gamma_{1} } {f(z)dz = } intlimits_{Gamma_{2} } {f(z)dz}
$

Следовательно, интеграл от голоморфной в односвязной области функции не зависит от вида пути интегрирования, а зависит только от положения его начала и конца.

В условиях, когда интеграл не зависит от вида пути интегрирования его можно обозначать так

$displaystyle intlimits_{z_{0} }^{z_{1} } {fleft( {z} right)dz}
$

Первообразная функция. Как и в обычном анализе первообразной функцией от данной функции называется функция, производная которой равна данной функции.

По определению для первообразной функции $ F(z)$мы имеем $ {F}'left( {z} right) = fleft( {z} right)$. Следовательно, если функция $ f(z)$имеет в области $ G$первообразную, то эта первообразная дифференцируема в области и поэтому первообразная голоморфна.

Две первообразные от одной и той же функции отличаются на постоянное слагаемое. Действительно, если $ F'( z ) = f (z)$и $ F'_1 ( z ) = f( z )$, $ z in G$, то $ [ F'( z ) - F'_1 ( z) ]' = f( z ) - f( z ) =0$. Отсюда следует, что $ F( z ) - F_1 ( z) = C$или $ F( z ) = F_1( z ) + C$.

Лемма о существовании первообразной. Если функция $ f(z)$непрерывна в области $ G$и интеграл от нее не зависит от вида пути интегрирования, то она имеет в этой области первообразную.

Доказательство. Зафиксируем точку $ z_{0} in G$и введем функцию

$displaystyle F(z) = intlimits_{z_{0} }^{z} {fleft( {zeta } right)dzeta , qquad z in G}$

(5.13)

Покажем, что она как раз и является искомой первообразной. Вычисляем

$displaystyle frac{{Fleft( {z + Delta z} right) - Fleft( {z} right)}}{{D...
...zeta - } intlimits_{z_{0} }^{z} {fleft( {zeta }
right)dzeta } } right]
$

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Распродажа дипломных

 Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

 Пройди опрос и получи промокод